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\theoremstyle{plain}\newtheorem*{satz}{Theorem}
\theoremstyle{plain}\newtheorem*{lemma}{Lemma}
\theoremstyle{definition}\newtheorem*{bsp}{Beispiel}

\begin{document}

\title{Das Liouville-Arnold-Theorem}
\date{1. September 2009}
\author{Nils Kanning}
\maketitle

\begin{abstract}
  Das Theorem von Liouville und Arnold liefert Bedingungen unter denen
  ein Hamiltonsches System integrabel ist. In diesem Fall können die
  Trajektorien bis auf eine Integration angegeben werden.
  
  Der Phasenraum integrabler Systeme weist eine hohe Ordnung auf.
  Die Trajektorien liegen vollständig auf Flächen von
  der Dimension des Konfigurationsraums -- oftmals sind dies Tori. Es kommt
  nicht zu chaotischem Verhalten. 

  Integrabilität ist eine sehr spezielle Eigenschaft. Gegeben eine
  beliebige Hamilton-Funktion, so ist die überwältigende Mehrzahl
  dieser Hamiltonschen Systeme nicht integrabel.

  Trotzdem sind integrable Systeme von großer Bedeutung. So sind zum
  Beispiel alle explizit gelösten mechanischen Systeme wie der
  harmonische Oszillator, das Kepler-Problem oder der Euler-Kreisel
  integrabel.

  Zur Vorbereitung der Formulierung des Liouville-Arnold-Theorems
  werden zunächst einige Begriffe aus dem Bereich der Hamiltonschen
  Systeme wiederholt. Die anschließende Diskussion des
  Liouville-Arnold-Theorems beinhaltet auch ein Verfahren, um explizit
  Lösungen von integrablen Systemen zu erzeugen.
\end{abstract}

\section{Hamiltonsche Systeme}
Sei $M=\mathbb{R}^{2n}$ mit den Koordinaten $(\mathbf p,\mathbf
q)=(p_1, \ldots, p_n, q_1, \ldots, q_n)$ der \emph{Phasenraum} eines
Hamiltonschen Systems mit $n$ Freiheitsgraden.\footnote{Allgemeiner
  sind Systeme möglich deren Phasenraum eine $2n$-dimensionale symplektische
  Mannigfaltigkeit ist.} Dieses System ist durch eine
\emph{Hamilton-Funktion} \mbox{$H: M \to \mathbb{R}$} gegeben.

Die \emph{kanonischen Gleichungen}
\begin{align*}
  \dot{\mathbf p} = -\frac{\partial H}{\partial{\mathbf q}},\quad
  \dot{\mathbf q} = \frac{\partial H}{\partial{\mathbf p}}
\end{align*}
legen die Dynamik des Systems fest.

Die \emph{Poisson-Klammer} von zwei Funktionen $F,G: M \to \mathbb{R}$
ist
\begin{align*}
  \{F,G\}= \frac{\partial F}{\partial{\mathbf p}}\frac{\partial
    G}{\partial{\mathbf q}}-\frac{\partial G}{\partial{\mathbf p}}\frac{\partial
    F}{\partial{\mathbf q}}.
\end{align*}

Für eine Funktion $F:M \to \mathbb R$ berechnet man $\dot
F=\{H,F\}$. Damit ist $F$ eine \emph{Erhaltungsgröße} genau dann, wenn $\{H,F\}=0$.

\subsection{Kanonische Transformationen}
Seien $(\mathbf P,\mathbf Q)$ ebenfalls Koordinaten des
Phasenraums. Die Transformation $(\mathbf p,\mathbf q) \mapsto (\mathbf
P,\mathbf Q)$ heißt \emph{kanonisch} falls $\mathbf p\mathrm{d}\mathbf
q-\mathbf P\mathrm{d}\mathbf Q$ als
totales Differential einer Funktion $W:M \to \mathbb R$ geschrieben werden
kann:
\begin{align*}
  \mathbf p\mathrm{d}\mathbf q-\mathbf P\mathrm{d}\mathbf Q = \mathrm{d}W.
\end{align*}

Durch solch eine Transformation bleibt die Form der kanonischen
Gleichungen unverändert:
\begin{align*}
  \dot{\mathbf P} = -\frac{\partial H}{\partial \mathbf Q},\quad
  \dot{\mathbf Q} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf P}.
\end{align*}

Auch die Poissonklammer ändert sich unter kanonischen Transformationen
nicht.

\subsubsection{Erzeugende Funktionen}
Nun soll eine kanonische Transformation mit Hilfe einer einzigen
reellwertigen erzeugenden Funktion konstruiert werden.

Diese Methode spielt später eine zentrale Rolle im Beweis des
Liouville-Arnold-Theorems. Dort wird die erzeugende Funktion so
gewählt, dass die kanonischen Gleichungen in den neuen Koordinaten
trivial gelöst werden können.

Sei die \emph{erzeugende Funktion} $S(\mathbf P,\mathbf q)$
gegeben. Man definiert 
\begin{align}
  \mathbf p &= \frac{\partial S}{\partial{\mathbf q}}(\mathbf P,
  \mathbf q)\quad\mathrm{und} \label{eq:erzfkt_p}\\
  \mathbf Q &= \frac{\partial S}{\partial{\mathbf
      P}}(\mathbf P, \mathbf q).\label{eq:erzfkt_Q}
\end{align}

Hieraus müssen nun die Transformationsvorschriften $\mathbf P =
\mathbf P(\mathbf p, \mathbf q)$ und $\mathbf Q = \mathbf Q(\mathbf p,
\mathbf q)$ bestimmt werden. Es ist außerdem zu zeigen, dass diese
Transformation kanonisch ist.

Nun wird Gl.~\ref{eq:erzfkt_p} nach $\mathbf P = \mathbf P(\mathbf p,
\mathbf q)$ aufgelöst.\footnote{Es wird angenommen, dass dies möglich
  ist. Nach dem Satz über implizite Funktionen muss dazu
  $\det\partial^2 S/\partial{\mathbf P}\partial{\mathbf q}\neq 0$
  erfüllt sein.}  Aus Gl.~\ref{eq:erzfkt_Q} ergibt sich nach
Einsetzen dieses Resultats $\mathbf Q = \mathbf Q(\mathbf p, \mathbf
q)$.

Die Transformationsvorschriften für die inverse Transformation erhält
man analog.

Um zu untersuchen, ob es sich um eine kanonische Transformation handelt,
betrachtet man
\begin{align*}
  \mathrm{d}S &=\frac{\partial S}{\partial{\mathbf P}}\mathrm{d}\mathbf
  P+\frac{\partial S}{\partial{\mathbf q}}\mathrm{d}\mathbf q\\
  &=\mathbf Q\mathrm{d}\mathbf P +\mathbf p\mathrm{d}\mathbf q + \mathbf
  P\mathrm{d}\mathbf Q - \mathbf P\mathrm{d}\mathbf Q.
\end{align*}
Somit wurde eine kanonische Transformation konstruiert, denn
\begin{align*}
  \mathrm{d}(S-\mathbf P\mathbf Q)=\mathbf p\mathrm{d}\mathbf q - \mathbf P\mathrm{d}\mathbf Q
\end{align*}
ist ein totales Differential.

\section{Liouville-Arnold-Theorem}
Im Folgenden wird ein Verfahren zum Lösen der kanonischen Gleichungen
vorgestellt. Die Lösung kann dabei bis auf ein Integral über eine
Variable -- eine \emph{Quadratur} -- angegeben werden.

Dieses Verfahren ist allerdings nicht für jedes Hamiltonsche System
anwendbar. Ein \emph{Theorem von Liouville} beschreibt die
Bedingungen unter denen die Konstruktion von Lösungen möglich
ist. Außerdem zeigt das Theorem, dass in diesem Fall der Phasenraum als
"`Schichtung"' -- \emph{Foliation} -- von Flächen aufgefasst werden
kann. Die Trajektorien des Systems verlaufen auf diesen Flächen.

Das \emph{Liouville-Arnold-Theorem} ist eine Erweiterung dieser
Aussage: Sind die Flächen zusammenhängend und kompakt, so entsprechen
sie Tori und es bietet sich an, an diese Tori angepasste Koordinaten
einzuführen.

Diese beiden Sätze werden nun im Detail diskutiert.

\subsection[Liouville-Theorem]{Liouville-Theorem\protect\footnote{Das Liouville-Theorem
    ohne Arnolds Erweiterung wird auch in \cite{Babelon2003}
    formuliert.}}
Funktionen $F_1, \ldots, F_n: M \to \mathbb R$ sind \emph{in
  Involution} genau dann, wenn
\begin{align*}
  \{F_i,F_j\}=0
\end{align*}
für $i,j = 1, \ldots, n$.  

Sie sind \emph{unabhängig} genau dann, wenn
\begin{align*} 
  \left(\frac{\partial F_i}{\partial{\mathbf p}},\frac{\partial
      F_i}{\partial{\mathbf q}}\right),\quad i=1, \ldots,n
\end{align*}
als Vektorfelder linear unabhängig sind.

\begin{satz}[Liouville]
  Gegeben sei ein Hamiltonsches System mit $n$ Freiheitsgraden und $n$
  unabhängigen Erhaltungsgrößen $F_1, \ldots, F_n$ in Involution. Dann
  gilt:
  \begin{enumerate}
  \item Die Niveauflächen 
    \begin{align*}
      M_{\mathbf f}=\{(\mathbf p,\mathbf q)\in M| \mathbf F(\mathbf
      p,\mathbf q)=\mathbf f\}
    \end{align*}
    von \mbox{$\mathbf F=(F_1, \ldots, F_n)$} mit \mbox{$\mathbf f\in
      {\mathbb R}^n$} sind \mbox{$n$-}dimensionale
    Untermannigfaltigkeiten des Phasenraums $M$ und die Trajektorien
    des Systems verlaufen auf diesen Flächen.
  \item Die Lösungen der kanonischen Gleichungen können bis auf eine
    Quadratur angegeben werden.
  \end{enumerate}
\end{satz}

Hamiltonsche Systeme, die die Voraussetzungen dieses Theorems erfüllen,
nennt man \emph{integrabel}.

Der folgende Beweis sichert nicht nur die Gültigkeit der zweiten
Aussage des Theorems, sondern beinhaltet auch das bereits erwähnte
Verfahren zur Konstruktion der Lösungen.

\begin{proof}
  \newlength{\oldparindent}
  \oldparindent\parindent
  \begin{asparaenum}
    \parindent\oldparindent
  \item Aus der Unabhängigkeit der $F_i$ folgt mit dem Satz über
    implizite Funktionen, dass die Niveauflächen $M_{\mathbf f}$
    $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeiten von $M$ sind. Da die
    $F_i$ Erhaltungsgrößen sind, kann eine Trajektorie eine
    Niveaufläche nicht verlassen.
  \item Ziel ist die Konstruktion einer kanonischen Transformation
    \mbox{$(\mathbf p, \mathbf q) \mapsto (\mathbf F, \mathbf Q)$} mit den
    Erhaltungsgrößen $\mathbf F$ als neuen Impulsen.

    Die kanonischen Gleichungen in diesen Koordinaten sind
    \begin{align*}
      \dot{\mathbf F} = -\frac{\partial H}{\partial \mathbf Q},\quad
      \dot{\mathbf Q} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf F}.
    \end{align*}

    Da $\mathbf F$ laut Voraussetzung erhalten ist, hängt somit die Hamilton-Funktion in
    den neuen Koordinaten nur von den Impulsen ab: \mbox{$H=H(\mathbf
      F)$}. Daher ist auch \mbox{$\dot{\mathbf Q}= \partial
      H/\partial\mathbf F (F)$} erhalten.

    Nach der Wahl einer Niveaufläche von $\mathbf F$ durch die
    Konstanten $\mathbf f\in {\mathbb R}^n$ und weiteren
    Konstanten $\mathbf Q_0 \in \mathbb{R}^n$ werden die Lösungen der
    kanonischen Gleichungen trivial:
    \begin{align}
      \label{eq:lsg_kanon_triv}
      \mathbf F(t) &= \mathbf f,\nonumber\\
      \mathbf Q(t) &= \mathbf Q_0 +\frac{\partial H}{\partial \mathbf
        F}(\mathbf f)\,t.
    \end{align}

    Die Aufgabe besteht nun darin, eine erzeugende Funktion für diese
    kanonische Transformation anzugeben.

    Dazu löst man $\mathbf F = \mathbf F(\mathbf p, \mathbf q)$ nach
    $\mathbf p$ auf und definiert als erzeugende
    Funktion\footnote{Hierfür wird angenommen, dass $\det\partial^2
      S/\partial{\mathbf F}\partial{\mathbf q}=\det\partial{\mathbf
        p}/\partial{\mathbf F}\neq 0.$}
    \begin{align*}
      S(\mathbf F,\mathbf q) = \int_\gamma\mathbf p(\mathbf F,\mathbf
      q)\mathrm{d}\mathbf q.
    \end{align*}
    Die Kurve $\gamma$ verläuft dabei auf einer Niveaufläche
    $M_{\mathbf f}$ von einem durch Koordinaten $\mathbf q_0$
    festgelegten Anfangspunkt zu einem durch Koordinaten $\mathbf q$
    gegebenen Endpunkt (Abb.~\ref{img:kurve_auf_niveaufl}). Daher wird auch die Notation
    \begin{align}
      \label{eq:erzfkt_quad}
      S(\mathbf F,\mathbf q) = \int_{\mathbf q_0}^\mathbf{q}\mathbf p(\mathbf F,\mathbf
      q)\mathrm{d}\mathbf q
    \end{align}
    verwendet. 

    \begin{figure}[ht]
      \centering
      \begin{tikzpicture}[scale=0.03]
        % Koordinatensystem
        \draw[koordinaten,latex-latex]
        (100.0000,-100.0000) node[right] {$\mathbf q$} -- (0.0000,-100.0000)
        -- (0.0000,0.0000) node[right] {$\mathbf p$};
        \draw[koordinaten,-latex]
        (0.0000,-100.0000) -- (30.0000,-75.0000);
        
        \begin{scope}[xshift=100, yshift=100]
          % Fläche
          \draw[flaeche] 
          (10.0000,-65.0000) .. controls (35.0000,-70.0000) and (60.0000,-60.0000) ..  
          (90.0000,-75.0000) .. controls (100.0000,-70.0000) and (105.0000,-55.0000) ..
          (120.0000,-50.0000) node[right] {$M_{\mathbf f}$} .. controls (90.0000,-35.0000) and (65.0000,-45.0000) ..  
          (40.0000,-40.0000) .. controls (25.0000,-45.0000) and (20.0000,-60.0000) ..
          (10.0000,-65.0000) -- cycle;

          % Kurve
          \draw[kurve] 
          (30.0000,-60.0000) .. controls (42.5000,-60.0000) and
          (50.0000,-60.0000) ..  (65.0000,-55.0000) node[below right] {$\gamma$}; 
          \draw[kurve,latex reversed-] 
          (65.0000,-55.0000)
          .. controls (73.0671,-52.3110) and (74.4895,-48.4410) ..
          (95.0000,-50.0000);

          % Projektion
          \draw[koordinaten]
          (30.0009,-66.5591) -- (30.0000,-85.0000) node[below] {$\mathbf q_0$}; 
          \draw[koordinaten]
          (95.0000,-71.4910) -- (95.0000,-80.0000) node[below] {$\mathbf q$}; 
          \draw[koordinaten verdeckt] 
          (30.0000,-60.0000) -- (30.0009,-66.5591); 
          \draw[koordinaten verdeckt]
          (95.0000,-50.0000) -- (95.0000,-71.4910);
        \end{scope}
      \end{tikzpicture}
      \caption{Kurve $\gamma$ auf der Nivaufläche $M_{\mathbf f}$}
      \label{img:kurve_auf_niveaufl}
    \end{figure}

    Es bleibt jedoch zu zeigen, dass diese erzeugende Funktion
    wohldefiniert ist. Bei stetig ineinander deformierbaren Kurven mit
    gleichem Anfangs- und Endpunkt darf der Wert der erzeugenden
    Funktion $S(\mathbf F,\mathbf q)$ nicht von der Wahl der Kurve
    abhängen. Dies wird im folgenden Lemma bewiesen.

    Zunächst sei jedoch angemerkt, dass, wenn die Wohldefiniertheit
    sichergestellt ist, das Theorem bewiesen ist: In den neuen
    Koordinaten ist die Lösung der kanonischen Gleichung trivial
    (Gl.~\ref{eq:lsg_kanon_triv}). Die erzeugende Funktion der
    Transformation ist durch eine Quadratur gegeben
    (Gl.~\ref{eq:erzfkt_quad}). Diese erzeugende Funktion legt gemäß
    Gl.~\ref{eq:erzfkt_p} und Gl.~\ref{eq:erzfkt_Q} die
    Transformationsvorschriften $\mathbf p = \mathbf p(\mathbf F,
    \mathbf Q)$ und $\mathbf q = \mathbf q(\mathbf F, \mathbf Q)$ fest,
    um die Lösung in den ursprünglichen Koordinaten anzugeben.
  \end{asparaenum}
  
    \begin{lemma}
      Seien $\gamma$ und $\gamma'$ zwei stetig ineinander
      deformierbare Kurven auf $M_{\mathbf f}$ mit gemeinsamen
      Anfangs- und Endpunkten. Dann ist
      \begin{align*}
        \int_\gamma\mathbf p\mathrm{d}\mathbf q=\int_{\gamma'}\mathbf p\mathrm{d}\mathbf q.
      \end{align*}
    \end{lemma}

    In den Beweis dieses Lemmas geht die bisher nicht verwendete
    Voraussetzung ein, dass die Erhaltungsgrößen $F_i$ in Involution sind.

    \begin{proof}
      Sei $\sigma$ eine von der geschlossenen Kurve $\gamma-\gamma'$
      eingeschlossene in $M_{\mathbf f}$ liegende Fläche
      (Abb.~\ref{img:kurven_eingeschl}). Aus einer allgemeinen
      Formulierung des Satzes von Stokes ergibt sich
      \begin{align*}
        \int_\gamma\mathbf p\mathrm{d}\mathbf q-\int_{\gamma'}\mathbf
        p\mathrm{d}\mathbf q
        =\iint_\sigma\mathrm{d}\mathbf p\wedge\mathrm{d}\mathbf q.
      \end{align*}

      \begin{figure}[ht]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=0.03]
          % Koordinatensystem
          \draw[koordinaten,latex-latex]
          (100.0000,-100.0000) node[right] {$\mathbf q$} -- (0.0000,-100.0000)
          -- (0.0000,0.0000) node[right] {$\mathbf p$};
          \draw[koordinaten,-latex]
          (0.0000,-100.0000) -- (30.0000,-75.0000);
          
          \begin{scope}[xshift=100,yshift=100]
            % Fläche
            \draw[flaeche] 
            (10.0000,-65.0000) .. controls (35.0000,-70.0000) and (60.0000,-60.0000) ..  
            (90.0000,-75.0000) .. controls (100.0000,-70.0000) and (105.0000,-55.0000) ..
            (120.0000,-50.0000) node[right] {$M_{\mathbf f}$} .. controls (90.0000,-35.0000) and (65.0000,-45.0000) ..  
            (40.0000,-40.0000) .. controls (25.0000,-45.0000) and (20.0000,-60.0000) ..
            (10.0000,-65.0000) -- cycle;

            % Kurven
            \draw[kurve]
            (30.0000,-60.0000) node[above=4,right=22] {$\sigma$} .. controls (52.0926,-60.0000) and (65.2297,-64.7193) ..
            (77.8571,-62.1428);
            \draw[kurve,latex reversed-]
            (77.8571,-62.1428) node[below=4,right] {$\gamma$} .. controls (84.7554,-60.7354) and (92.1163,-56.8862) ..
            (95.0000,-50.0000);

            \draw[kurve]
            (30.0000,-60.0000) .. controls (38.8657,-56.3059) and (44.3110,-48.7972) ..
            (52.5000,-47.3214);
            \draw[kurve,latex reversed-]
            (52.5000,-47.3214) node[left=4] {$\gamma'$} .. controls (65.7898,-44.9264) and (77.9347,-50.4375) ..
            (95.0000,-50.0000);

            % Projektion
            \draw[koordinaten]
            (30.0009,-66.5591) -- (30.0000,-85.0000) node[below] {$\mathbf q_0$}; 
            \draw[koordinaten]
            (95.0000,-71.4910) -- (95.0000,-80.0000) node[below] {$\mathbf q$}; 
            \draw[koordinaten verdeckt] 
            (30.0000,-60.0000) -- (30.0009,-66.5591); 
            \draw[koordinaten verdeckt]
            (95.0000,-50.0000) -- (95.0000,-71.4910);
          \end{scope}
        \end{tikzpicture}
        \caption{Von der Kurve $\gamma-\gamma'$ in $M_{\mathbf f}$
          liegende eingeschlossene Fläche $\sigma$}
        \label{img:kurven_eingeschl}
      \end{figure}
      
      Die $2$-Form $\mathrm{d}\mathbf p\wedge\mathrm{d}\mathbf q$ wird
      bei der Integration über $\sigma$ mit zu $\sigma$, und
      somit zu $M_{\mathbf f}$, tangentialen Vektoren ausgewertet. Es
      wird nun gezeigt, dass die $2$-Form in diesem Fall identisch
      verschwindet.

      Mit Hilfe der Erhaltungsgrößen werden $n$ Vektorfelder 
      \begin{align*}
        \mathbf X_i=\left(\frac{\partial F_i}{\partial{\mathbf
              q}},-\frac{\partial F_i}{\partial{\mathbf p}}\right)
      \end{align*}
      definiert.
      Da $M_{\mathbf f}$ eine Niveaufläche von $\mathbf F$ ist, sind
      die Gradienten
      \begin{align*}
        \left(\frac{\partial F_i}{\partial{\mathbf p}},\frac{\partial
            F_i}{\partial{\mathbf q}}\right)
      \end{align*}
      orthogonal zu $M_{\mathbf f}$. Nun berechnet man unter
      Verwendung, dass die Erhaltungsgrößen in Involution sind
      \begin{align*}
        \mathbf X_i \cdot \left(\frac{\partial F_j}{\partial{\mathbf
              p}},\frac{\partial F_j}{\partial{\mathbf q}}\right)
        =\{F_i,F_j\}=0
      \end{align*}
      für $i,j=1, \ldots, n$. Damit sind die Vektorfelder $X_i$
      tangential zu $M_{\mathbf f}$.
      
      Aus der Definition der Unabhängigkeit der Erhaltungsgrößen
      folgt die lineare Unabhängigkeit der $n$ Vektorfelder $\mathbf
      X_i$, $i=1, \ldots, n$.

      Da $M_{\mathbf f}$ eine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit
      ist, erzeugen die $\mathbf X_i$ alle tangentialen Richtungen. Es
      reicht daher aus, die $2$-Form mit diesen Vektorfeldern
      auszuwerten:
      \begin{align*}
        \mathrm{d}\mathbf p\wedge\mathrm{d}\mathbf q(\mathbf
        X_i,\mathbf X_j) = \{F_i,F_j\}=0
      \end{align*}
      für $i=1, \ldots, n$.
    \end{proof}

    Damit ist auch das Liouville-Theorem bewiesen.\qedhere
\end{proof}

Die Erzeugung von Lösungen der kanonischen Gleichungen mit dem
Liouville-Theorem besteht also darin, die Gleichungen in den
Koordinaten $(\mathbf F,\mathbf Q)$ zu lösen. Dies ist trivial: Die
Trajektorien verlaufen geradlinig (Abb.~\ref{img:foliation_FQ}).

\begin{figure}[ht]
  \centering
  \begin{tikzpicture}[scale=0.03]
    % Koordinatensystem
    \draw[koordinaten,latex-latex]
    (100.0000,-100.0000) node[right] {$\mathbf Q$} -- (0.0000,-100.0000)
    -- (0.0000,0.0000) node[right] {$\mathbf F$};
    \draw[koordinaten,-latex]
    (0.0000,-100.0000) -- (30.0000,-75.0000);

    \begin{scope}[xshift=100,yshift=100]
      % Fläche
      \draw[flaeche] 
      (35.0000,-40.0000) -- (10.0000,-65.0000) -- (90.0000,-65.0000) --
      (115.0000,-40.0000) -- (35.0000,-40.0000) -- cycle;

      % Kurve
      \begin{pgfonlayer}{vordergrund}
        \draw[kurve]
        (30.0000,-60.0000) -- (47.4107,-55.9821);
        \draw[kurve verdeckt]
        (47.4107,-55.9821) -- (95.0000,-45.0000);
     \end{pgfonlayer}
    \end{scope}

    \begin{scope}[xshift=100,yshift=360]
      % Fläche
      \draw[flaeche] 
      (35.0000,-40.0000) -- (10.0000,-65.0000) -- (90.0000,-65.0000) --
      (115.0000,-40.0000) -- (35.0000,-40.0000) -- cycle;

      % Kurve
      \begin{pgfonlayer}{vordergrund}
        \draw[kurve]
        (30.0000,-60.0000) -- (47.4107,-55.9821);
        \draw[kurve verdeckt]
        (47.4107,-55.9821) -- (95.0000,-45.0000);
      \end{pgfonlayer}
    \end{scope}

    \begin{scope}[xshift=100,yshift=620]
      % Fläche
      \draw[flaeche] 
      (35.0000,-40.0000) -- (10.0000,-65.0000) -- (90.0000,-65.0000) --
      (115.0000,-40.0000)  node[right] {$M_{\mathbf f}$} -- (35.0000,-40.0000) -- cycle;

      % Kurve
      \begin{pgfonlayer}{vordergrund}
        \draw[kurve]
        (30.0000,-60.0000) -- (62.5000,-52.5000);  
        \draw[kurve,latex reversed-]
        (62.5000,-52.5000) -- (95.0000,-45.0000);  
      \end{pgfonlayer}
    \end{scope}
    
  \end{tikzpicture}
  \caption{Foliation des Phasenraums durch die Niveauflächen
    $M_{\mathbf f}$ und Trajektorien auf diesen Niveauflächen in den
    Koordinaten $(\mathbf F,\mathbf Q)$}
  \label{img:foliation_FQ}
\end{figure}

Es folgt eine kanonische Transformation in die ursprünglichen
Koordinaten. Das Aufstellen der Transformationsvorschriften erfordert
lediglich algebraische Umformungen und eine Integration.

In den ursprünglichen Koordinaten $(\mathbf p,\mathbf q)$ ist die Form
der Trajektorien im Allgemeinen nicht mehr geradlinig (Abb.~\ref{img:foliation_pq}).

\begin{figure}[ht]
  \centering
  \begin{tikzpicture}[scale=0.03]
    % Koordinatensystem
    \draw[koordinaten,latex-latex]
    (100.0000,-100.0000) node[right] {$\mathbf q$} -- (0.0000,-100.0000)
    -- (0.0000,0.0000) node[right] {$\mathbf p$};
    \draw[koordinaten,-latex]
    (0.0000,-100.0000) -- (30.0000,-75.0000);

    \begin{scope}[xshift=100,yshift=100]
      % Fläche
      \draw[flaeche] 
      (10.0000,-65.0000) .. controls (35.0000,-70.0000) and (60.0000,-60.0000) ..  
      (90.0000,-75.0000) .. controls (100.0000,-70.0000) and (105.0000,-55.0000) ..
      (120.0000,-50.0000) .. controls (90.0000,-35.0000) and (65.0000,-45.0000) ..  
      (40.0000,-40.0000) .. controls (25.0000,-45.0000) and (20.0000,-60.0000) ..
      (10.0000,-65.0000) -- cycle;

      % Kurve
      \begin{pgfonlayer}{vordergrund}
        \draw[kurve]
        (30.0000,-60.0000) .. controls (39.8040,-60.0000) and (46.6603,-59.9124) ..
        (56.3438,-57.5000);
        \draw[kurve verdeckt]
        (56.6562,-57.4687) .. controls (59.2019,-56.8219) and (61.9345,-56.0218) ..
        (65.0000,-55.0000) .. controls (65.6240,-54.7920) and (66.1936,-54.5628) ..
        (66.7500,-54.3437) .. controls (72.0379,-52.2617) and (74.8315,-49.8359) ..
        (85.3125,-49.6562) .. controls (87.9857,-49.6104) and (91.1543,-49.7077) ..
        (95.0000,-50.0000);
     \end{pgfonlayer}
    \end{scope}

    \begin{scope}[xshift=100,yshift=360]
      % Fläche
      \draw[flaeche] 
      (10.0000,-65.0000) .. controls (35.0000,-70.0000) and (60.0000,-60.0000) ..  
      (90.0000,-75.0000) .. controls (100.0000,-70.0000) and (105.0000,-55.0000) ..
      (120.0000,-50.0000) .. controls (90.0000,-35.0000) and (65.0000,-45.0000) ..  
      (40.0000,-40.0000) .. controls (25.0000,-45.0000) and (20.0000,-60.0000) ..
      (10.0000,-65.0000) -- cycle;

      % Kurve
      \begin{pgfonlayer}{vordergrund}
        \draw[kurve]
        (30.0000,-60.0000) .. controls (39.8040,-60.0000) and (46.6603,-59.9124) ..
        (56.3438,-57.5000);
        \draw[kurve verdeckt]
        (56.6562,-57.4687) .. controls (59.2019,-56.8219) and (61.9345,-56.0218) ..
        (65.0000,-55.0000) .. controls (65.6240,-54.7920) and (66.1936,-54.5628) ..
        (66.7500,-54.3437) .. controls (72.0379,-52.2617) and (74.8315,-49.8359) ..
        (85.3125,-49.6562) .. controls (87.9857,-49.6104) and (91.1543,-49.7077) ..
        (95.0000,-50.0000);
      \end{pgfonlayer}
    \end{scope}

    \begin{scope}[xshift=100,yshift=620]
      % Fläche
      \draw[flaeche] 
      (10.0000,-65.0000) .. controls (35.0000,-70.0000) and (60.0000,-60.0000) ..  
      (90.0000,-75.0000) .. controls (100.0000,-70.0000) and (105.0000,-55.0000) ..
      (120.0000,-50.0000) node[right] {$M_{\mathbf f}$} .. controls (90.0000,-35.0000) and (65.0000,-45.0000) ..  
      (40.0000,-40.0000) .. controls (25.0000,-45.0000) and (20.0000,-60.0000) ..
      (10.0000,-65.0000) -- cycle;

      % Kurve
      \begin{pgfonlayer}{vordergrund}
        \draw[kurve] (30.0000,-60.0000) .. controls (42.5000,-60.0000)
        and (50.0000,-60.0000) ..  (65.0000,-55.0000); \draw[kurve,
        latex reversed-] (65.0000,-55.0000) .. controls
        (73.0671,-52.3110) and (74.4895,-48.4410) ..
        (95.0000,-50.0000);
      \end{pgfonlayer}
    \end{scope}
    
  \end{tikzpicture}
  \caption{Foliation und Trajektorien in den Koordinaten $(\mathbf
    p,\mathbf q)$}
  \label{img:foliation_pq}
\end{figure}

Mit dem Liouville-Theorem sind die Lösungen integrabler Hamiltonscher
Systeme prinzipiell bekannt. Bei der praktischen Berechnung von
Lösungen sind jedoch einige Aspekte zu beachten:

Es müssen zunächst genügend unabhängige Erhaltungsgrößen in Involution
gefunden werden. Insbesondere ist es nicht einfach zu beweisen, dass
es solche Erhaltungsgrößen nicht gibt um somit auszuschließen, dass es
sich um ein integrables System handelt.\footnote{Diese Problemstellung wird auch
in \cite{Goriely2001} untersucht.}

Außerdem ist eine explizite Parametrisierung von Kurven auf den
Niveauflächen der Erhaltungsgrößen nötig.

Schließlich kann das auftretende Integral im Allgemeinen nicht durch
elementare Funktionen ausgedrückt werden.

\begin{bsp}[Mathematisches Pendel mit einem Freiheitsgrad]
  Die Hamilton-Funktion des mathematischen Pendels ist 
  \begin{align}
    \label{eq:ham_math_pendel}
    H(p,q)=\frac{p^2}{2}-\cos q.
  \end{align}

  Nun soll das System im Rahmen des Liouville-Theorems diskutiert
  werden.

  Die benötigte Erhaltungsgröße ist die Hamilton-Funktion selber:
  \mbox{$F=H$}. Daher erhält man auf einfache Weise aus
  Gl.~\ref{eq:ham_math_pendel} die Form der Niveauflächen $M_f$ im
  Phasenraum des Systems (Abb.~\ref{img:math_pen_niveau}).

  \begin{figure}[ht]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
      % Koordinatensystem
      \draw[koordinaten,-latex] (-1.4*pi,0) -- (1.4*pi,0) node[right] {$q$}; 
      \draw[koordinaten,-latex] (0,-1.*pi) -- (0,1.*pi) node[above] {$p$};

      % Marker auf Achsen
      \node[below=3] at (pi,0) {$\pi$};
      \node[below=3] at (-pi,0) {$\pi$};

      % Plot der Funktion
      \draw[flaeche leer] plot[domain=-1.2*pi:1.2*pi, samples=200] function{sqrt(2*(2+cos(x)))} node[above=3,left=127] {$M_{f>1}$};
      \draw[flaeche leer] plot[domain=-1.2*pi:1.2*pi, samples=200] function{-sqrt(2*(2+cos(x)))};

      \draw[flaeche leer] plot[domain=-1.2*pi:1.2*pi, samples=200] function{sqrt(2*(1+cos(x)))} node[left=127] {$M_{f=1}$};
      \draw[flaeche leer] plot[domain=-1.2*pi:1.2*pi, samples=200] function{-sqrt(2*(1+cos(x)))};

      \draw[flaeche leer] plot[domain=-.53187*pi:.53187*pi, samples=1000] function{sqrt(2*(.1+cos(x)))};
      \draw[flaeche leer]  node[left=13, above=-2] {$M_{f<1}$} plot[domain=-.53187*pi:.53187*pi, samples=1000] function{-sqrt(2*(.1+cos(x)))};
    \end{tikzpicture}
    \caption{Niveauflächen $M_f$ des mathematischen Pendels}
    \label{img:math_pen_niveau}
  \end{figure}

  Da $\{F,F\}=0$, ist die Involutionsbedingung trivial erfüllt. Für
  Niveauflächen mit $F=f$, wobei $f>0$ und $f\neq 1$, stellt sich heraus, dass
  \begin{align*}
    \left(\frac{\partial F}{\partial p},\frac{\partial F}{\partial q}\right) \neq (0,0)
  \end{align*}
  und damit, dass $F$ unabhängig ist. Die Voraussetzungen des Theorems sind
  somit erfüllt.

  Um die erzeugende Funktion angeben zu können, löst man $F=F(p,q)$
  nach $p$ auf:
  \begin{align*}
    S(F,q)&=\int_{q_0}^q p(F,q)\textrm{d}q\\
    &=\int_{q_0}^q\sqrt{2(F+\cos q)}\textrm{d}q.
  \end{align*}
  Das auftretende Integral kann hier nicht durch elementare Funktionen
  ausgedrückt werden. Allgemein bieten sich numerische Methoden
  an. In diesem Beispiel handelt es sich jedoch um eine elliptische
  Funktion.

  Die Lösung der kanonischen Gleichungen in den Koordinaten $(F,Q)$
  ist
  \begin{align*}
    F(t) &= f,\\
    Q(t) &= Q_0+t
  \end{align*}
  wobei $Q_0\in\mathbb R$ und $f>1$.

  Mit den sich aus der erzeugenden Funktion ergebenden
  Transformationsvorschriften $p=p(F,Q)$ und $q=q(F,Q)$ erhält man die
  Lösung in den ursprünglichen Koordinaten:
  \begin{align*}
    p(t)&=p(f,Q_0+t),\\
    q(t)&=q(f,q_0+t).
  \end{align*}
\end{bsp}

\subsection{Liouville-Arnold-Theorem}
\begin{satz}[Liouville-Arnold]
  Ein Hamiltonsches System erfülle die Voraussetzungen des
  Liouville-Theorems und die Niveauflächen $M_{\mathbf f}$ seien
  kompakt und zusammenhängend. Dann gilt:
  \begin{enumerate}
  \item Die Niveauflächen $M_{\mathbf f}$ sind diffeomorph zu
    $n$-dimensionalen Tori. Das heißt der Phasenraum wird durch
    $n$-dimensionale Tori foliiert.
  \item Es gibt an diese Tori angepasste Koordinaten die als Winkel
    interpretiert werden können.
  \end{enumerate}
\end{satz}

Die im Satz erwähnten Koordinaten heißen
\emph{Winkel-Wirkungs-Variablen} und werden im folgenden Abschnitt
diskutiert.

Die erste Aussage des Theorems wird hier nicht bewiesen.\footnote{Ein
  ausführlicher Beweis ist in \cite{Arnold1989} zu finden.}
Stattdessen wird lediglich plausibel gemacht, dass die 
Niveauflächen $M_{\mathbf f}$ nicht diffeomorph zu Sphären, sehr
wohl jedoch diffeomorph zu Tori sein können.\footnote{Dieses
  Argument stammt aus \cite{Berry1978}.}

Aus dem Beweis des Liouville-Theorems ist bekannt, dass es auf den
Niveauflächen $M_{\mathbf f}$ die $n$ linear unabhängigen tangentialen
Vektorfelder $\mathbf X_i$ gibt. Diese sind global auf den
Niveauflächen definiert.

Auf einer $n$-dimensionalen Sphäre gibt es jedoch stets Punkte, an
denen solche Vektorfelder nicht definiert oder nicht linear unabhängig
sind (Abb.~\ref{img:int_kurv_sphaere}). Auf einem $n$-dimensionalen
Torus ist es hingegen kein Problem, $n$ lineare unabhängige
tangentiale Vektorfelder anzugeben (Abb.~\ref{img:int_kurv_torus}).

\begin{figure}[ht]
  \centering
  \begin{tikzpicture}[scale=0.05]
    % Sphaere
    \draw[flaeche,cm={{1.0,0.0,0.0,-1.0,(-40.0,-100.0)}}]
    (135.0000,-50.0000)arc(0.000:180.000:35.000)arc(-180.000:0.000:35.000) --
    cycle;

    % Kurven horizontal
    \draw[kurve,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .15 with {\arrow{latex reversed};\node[above=3]{$\mathbf X_1$};}}] 
    (94.4688,-55.3125) .. controls
    (94.1135,-56.0821) and (93.8688,-56.8901) .. (93.4062,-57.6250) .. controls
    (92.4887,-59.0829) and (91.3658,-60.4532) .. (90.0625,-61.7500) .. controls
    (88.7592,-63.0468) and (87.2653,-64.2408) .. (85.6250,-65.3438) .. controls
    (83.9847,-66.4467) and (82.1786,-67.4674) .. (80.2500,-68.3438) .. controls
    (78.3214,-69.2201) and (76.2619,-69.9768) .. (74.0938,-70.5938) .. controls
    (71.9256,-71.2107) and (69.6716,-71.6751) .. (67.3125,-72.0000) .. controls
    (64.9534,-72.3249) and (62.5012,-72.5000) .. (60.0000,-72.5000) .. controls
    (57.4988,-72.5000) and (55.0466,-72.3249) .. (52.6875,-72.0000) .. controls
    (50.3284,-71.6751) and (48.0745,-71.2107) .. (45.9062,-70.5938) .. controls
    (43.7380,-69.9768) and (41.6786,-69.2201) .. (39.7500,-68.3438) .. controls
    (37.8214,-67.4674) and (36.0153,-66.4467) .. (34.3750,-65.3438) .. controls
    (32.7347,-64.2408) and (31.2408,-63.0468) .. (29.9375,-61.7500) .. controls
    (28.6342,-60.4532) and (27.5113,-59.0829) .. (26.5938,-57.6250) .. controls
    (26.1312,-56.8901) and (25.8865,-56.0821) .. (25.5312,-55.3125);
    \draw[kurve,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .8 with {\arrow{latex};}}] 
    (33.8125,-27.0000) .. controls
    (33.0429,-28.5538) and (32.5000,-30.1675) .. (32.5000,-31.8750) .. controls
    (32.5000,-41.1900) and (44.8200,-48.7500) .. (60.0000,-48.7500) .. controls
    (75.1800,-48.7500) and (87.5000,-41.1900) .. (87.5000,-31.8750) .. controls
    (87.5000,-30.1675) and (86.9571,-28.5538) .. (86.1875,-27.0000);
    \draw[kurve,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .12 with {\arrow{latex reversed};}},
    cm={{1.0,0.0,0.0,-1.0,(-40.0,-100.0)}}]
    (107.5000,-77.5000)arc(0.000:180.000:7.500000 and
    5.000)arc(-180.000:0.000:7.500000 and 5.000) -- cycle;

    % Kurven vertikal
    \draw[kurve verdeckt,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .25 with {\arrow{latex};\node[below,right=2]{$\mathbf X_2$};}}]
    (60.0000,-22.5000) .. controls (48.6371,-34.2841) and (36.7107,-75.4199) ..
    (47.5000,-82.5000);
    \draw[kurve verdeckt,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .35 with {\arrow{latex};}}]
    (60.0000,-22.5000) .. controls (52.9160,-23.2871) and (27.5000,-31.2500) ..
    (25.5312,-55.3125);
    \draw[kurve
    verdeckt,,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .4 with {\arrow{latex reversed};}}]
    (44.9177,-18.4111) .. controls (52.8558,-18.0279) and (57.6220,-20.2820) ..
    (60.0000,-22.5000);
    \draw[kurve verdeckt,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .25 with {\arrow{latex};}}]
    (60.0000,-22.5000) .. controls (71.3629,-34.2841) and (83.2893,-75.4199) ..
    (72.5000,-82.5000);
    \draw[kurve verdeckt,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .35 with {\arrow{latex};}}]
    (60.0000,-22.5000) .. controls (67.0840,-23.2871) and (92.5000,-31.2500) ..
    (94.4688,-55.3125);
    \draw[kurve verdeckt,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .4 with {\arrow{latex reversed};}}]
    (75.0823,-18.4111) .. controls (67.1442,-18.0279) and (62.3779,-20.2820) ..
    (60.0000,-22.5000);
  \end{tikzpicture}
  \caption{Integralkurven von zwei Vektorfeldern
    $\mathbf X_1$, $\mathbf X_2$ auf einer $2$-dimensionalen Sphäre
    die an den Polen nicht definiert oder nicht linear unabhängig sind}
\label{img:int_kurv_sphaere}
\end{figure}


\begin{figure}[ht]
  \centering
  \begin{tikzpicture}[scale=0.05]
    % Torus
    \draw[flaeche,cm={{1.0,0.0,0.0,-1.0,(0.0,-90.0)}}]
    (105.0000,-45.0000)arc(0.000:180.000:45.000000 and
    30.000)arc(-180.000:0.000:45.000000 and 30.000) -- cycle;
    \draw[flaeche weiss,cm={{1.0,0.0,0.0,-1.0,(0.0,-90.0)}}]
    (82.5000,-45.0000)arc(0.000:180.000:22.500000 and
    10.000)arc(-180.000:0.000:22.500000 and 10.000) -- cycle;

    % große Kurven
    \draw[kurve,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .95 with {\arrow{latex};}},shift={(0,10.0)}]
    (92.5000,-50.0000)arc(0.000:180.000:32.500000 and
    20.000)arc(-180.000:0.000:32.500000 and 20.000) -- cycle;
    \draw[kurve,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .82 with {\arrow{latex};\node[below=15,right]{$\mathbf X_1$};}}] 
    (19.1562,-32.4375) .. controls
    (18.0949,-34.8407) and (17.5000,-37.3773) .. (17.5000,-40.0000) .. controls
    (17.5000,-55.1800) and (36.5400,-67.5000) .. (60.0000,-67.5000) .. controls
    (83.4600,-67.5000) and (102.5000,-55.1800) .. (102.5000,-40.0000) .. controls
    (102.5000,-37.3773) and (101.9051,-34.8407) .. (100.8438,-32.4375);

    % kleine Kurven
    \draw[kurve verdeckt,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow{latex};}},
    cm={{1.0,0.0,0.0,-1.0,(0.0,-90.0)}}]
    (15.0000,-45.0000)arc(-180.000:0.000:11.250000 and 10.000);
    \draw[kurve verdeckt,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .6 with {\arrow{latex};}},
    cm={{0.9285185,-0.3712861,-0.3712861,-0.9285185,(-0.565923,-74.395676)}}]
    (36.2500,-17.5000)arc(-270.000:-90.000:6.250000 and 10.000);
    \draw[kurve
    verdeckt,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .4 with {\arrow{latex reversed};\node[below=3,right]{$\mathbf X_2$};}},
    cm={{-0.9285185,-0.3712861,0.3712861,-0.9285185,(85.1563,-40.289953)}}]
    (36.2500,-17.5000)arc(-270.000:-90.000:6.250000 and 10.000);
    \draw[kurve verdeckt,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .5 with {\arrow{latex};}},
    cm={{-1.0,0.0,0.0,-1.0,(120.0,-90.0)}}]
    (15.0000,-45.0000)arc(-180.000:0.000:11.250000 and 10.000);
    \draw[kurve verdeckt,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .6 with {\arrow{latex};}},
    cm={{-0.9285185,-0.3712861,0.3712861,-0.9285185,(120.56592,-74.395676)}}]
    (36.2500,-17.5000)arc(-270.000:-90.000:6.250000 and 10.000);
    \draw[kurve verdeckt,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .4 with {\arrow{latex reversed};}},
    cm={{0.9285185,-0.3712861,-0.3712861,-0.9285185,(34.8437,-40.289953)}}]
    (36.2500,-17.5000)arc(-270.000:-90.000:6.250000 and 10.000);
  \end{tikzpicture}
  \caption{Integralkurven von zwei linear unabhängigen Vektorfeldern
    $\mathbf X_1$, $\mathbf X_2$ auf einem $2$-dimensionalen Torus}
\label{img:int_kurv_torus}
\end{figure}


Der Beweis der ersten Aussage des Liouville-Arnold-Theorems beruht in
der Tat auf den Eigenschaften der Vektorfelder $\mathbf X_i$.

\subsubsection{Winkel-Wirkungs-Variablen}
Nun werden die im Liouville-Arnold-Theorem erwähnten
Winkel-Wirkungs-Variablen konstruiert.

Bei den im Zusammenhang mit dem Liouville-Theorem konstruierten
Koordinaten wird durch die Impulse $\mathbf F$ eine Niveaufläche
$M_{\mathbf f}$ ausgewählt. Die verbleibenden Koordinaten $\mathbf Q$
parametrisieren diese Fläche. Im Fall von kompakten und
zusammenhängenden Niveauflächen sollen diese Koordinaten Winkeln auf
dem Torus entsprechen.

Mit der durch die Funktion $S(\mathbf F,\mathbf q)$ erzeugten
kanonischen Transformation ist diese Interpretation der Koordinaten
$\mathbf Q$ jedoch im Allgemeinen nicht möglich.

Daher werden nun an Stelle der Erhaltungsgrößen $\mathbf F$ selber
Funktionen $\mathbf I(\mathbf F)$ und eine erzeugende Funktion
$S(\mathbf I,\mathbf q)$ verwendet, um eine kanonische Transformation
$(\mathbf p,\mathbf q)\mapsto(\mathbf I,\boldsymbol \varphi)$ zu
definieren.

Da $M_{\mathbf f}$ diffeomorph zu einem $n$-dimensionalen Torus ist,
gibt es $n$ nicht stetig ineinander verformbare Kurven $\gamma_i$, die
$M_{\mathbf f}$ einmal "`umrunden"' (Abb.~\ref{img:kurven_torus}). Die Funktion $\mathbf I(\mathbf
F)$ ist nun so zu wählen, dass sich bei einem Umlauf um die Kurve
$\gamma_i$ nur die Koordinate $\varphi_i$ um $2\pi$ ändert.

\begin{figure}[ht]
  \centering
  \begin{tikzpicture}[scale=0.05]
    % Torus
    \draw[flaeche]
    (105.0000,-45.0000)arc(0.000:180.000:45.000000 and
    30.000)arc(-180.000:0.000:45.000000 and 30.000) -- cycle;
    \draw[flaeche weiss]
    (82.5000,-45.0000)arc(0.000:180.000:22.500000 and
    10.000)arc(-180.000:0.000:22.500000 and 10.000) -- cycle;

    % große Kurve
    \draw[kurve,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .8 with {\arrow{latex};\node[below]{$\gamma_2$};}},shift={(0,10.0)}]
    (92.5000,-50.0000)arc(0.000:180.000:32.500000 and
    20.000)arc(-180.000:0.000:32.500000 and 20.000) -- cycle;

    % kleine Kurve
    \draw[kurve,postaction={decorate},decoration={markings,mark=at position .6 with {\arrow{latex reversed};\node[below]{$\gamma_1$};}}]
    (37.5000,-45.0000)arc(0.000:180.000:11.250000 and 10.000);
    \draw[kurve verdeckt]
    (15.0000,-45.0000)arc(-180.000:0.000:11.250000 and 10.000);

  \end{tikzpicture}
  \caption{Nicht ineinander verformbare Kurven $\gamma_1$, $\gamma_2$
    auf einem $2$-dimensionalen Torus}
  \label{img:kurven_torus}
\end{figure}

Hierzu definiert man die \emph{Wirkungsvariablen}
\begin{align*}
  I_i(\mathbf F) = \frac{1}{2\pi}\oint_{\gamma_i}\mathbf p(\mathbf F,\mathbf
  q)\mathrm{d}\mathbf q
\end{align*}
für $i=1, \ldots, n$.\footnote{Es wird angenommen, dass die so
  definierte Funktion $\mathbf I(\mathbf F)$ invertierbar ist.}
Die erzeugende Funktion sei
\begin{align*}
  S(\mathbf I,\mathbf q) = \int_{\mathbf q_0}^\mathbf{q}\mathbf
  p(\mathbf F(\mathbf I),\mathbf q)\mathrm{d}\mathbf q.
\end{align*}

Diese ist mehrdeutig. Bei einem Umlauf um eine der Kurven $\gamma_i$
ändert sich $\mathbf q$ nicht. Der Wert von $S(\mathbf I, \mathbf q)$
verändert sich jedoch um
\begin{align*}
  \Delta_iS(\mathbf I)=\oint_{\gamma_i}\mathbf p(\mathbf F(\mathbf I),\mathbf
  q)\mathrm{d}\mathbf q=2\pi I_i.
\end{align*}

Diese Mehrdeutigkeit spiegelt sich auch in den \emph{Winkelvariablen}
\begin{align*}
  \boldsymbol\varphi=\frac{\partial S}{\partial{\mathbf I}}(\mathbf
  I,\mathbf q)
\end{align*}
wieder. Die Koordinate $\varphi_i$ ändert sich bei einem Umlauf um die
Kurve $\gamma_j$ um $\mathrm{d}/\mathrm{d}I_i\,\Delta_jS(\mathbf
I)$, das heißt\footnote{Das Symbol $\delta_{ij}$ steht für das Kronecker-Delta.}
\begin{align*}
  \oint_{\gamma_j}\mathrm{d}\varphi_i&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}I_i}\Delta_jS(\mathrm
  I)\\
  &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}I_i} 2\pi I_j = 2\pi \delta_{ij}.
\end{align*}

Damit können wie Winkelvariablen $\boldsymbol \varphi$ als Winkel auf
einem Torus interpretiert werden.

\begin{bsp}[Harmonischer Oszillator mit einem Freiheitsgrad]
  Die Hamilton-Funktion des harmonischen Oszillators mit einer
  Frequenz $\omega\in\mathbb R$ ist
  \begin{align*}
    H(p,q)=\frac{p^2}{2}+\frac{\omega^2}{2}q^2.
  \end{align*}

  Mit der Erhaltungsgröße \mbox{$F=H$} sind die Voraussetzungen des
  Liouville-Theorems erfüllt. Die Niveauflächen $M_f$ sind Ellipsen im
  $2$-dimensionalen Phasenraum und daher kompakt und zusammenhängend
  (Abb.~\ref{img:harm_oszi_niveau}).
  
  Das Bild einer geschlossenen Kurve $\gamma$ ist somit die Ellipse
  $M_f$. Das in der Wirkungsvariable auftretende Integral entspricht
  also der Fläche dieser Ellipse:
  \begin{align*}
    I = \frac{1}{2\pi}\oint_\gamma p(F,q)\mathrm{d}q=\frac{F}{\omega}
  \end{align*}

  \begin{figure}[ht]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
      % Koordinatensystem
      \draw[koordinaten,-latex] (-1.7*pi,0) -- (1.7*pi,0) node[right] {$q$}; 
      \draw[koordinaten,-latex] (0,-1.2*pi) -- (0,1.2*pi) node[above] {$p$};

      % Plot der Funktion
      \draw[flaeche leer] plot[domain=-.2845*pi:.2845*pi,samples=1000] function{sqrt(2*.2-.5*x**2)};
      \draw[flaeche leer] plot[domain=-.2845*pi:.2845*pi,samples=1000] function{-sqrt(2*.2-.5*x**2)};

      \draw[flaeche leer] 
      plot[domain=-.7796*pi:.7796*pi,samples=1000] function{sqrt(2*1.5-.5*x**2)};
      \draw[kurve] plot[domain=-.7796*pi:.7796*pi,samples=1000] function{-sqrt(2*1.5-.5*x**2)};

      \draw[flaeche leer] plot[domain=-1.2732*pi:1.2732*pi,samples=1000] function{sqrt(2*4-.5*x**2)}node[above=20] {$M_{f}$};
      \draw[flaeche leer] plot[domain=-1.2732*pi:1.2732*pi,samples=1000] function{-sqrt(2*4-.5*x**2)};

    \end{tikzpicture}
    \caption{Niveauflächen $M_f$ des harmonischen Oszillators}
    \label{img:harm_oszi_niveau}
  \end{figure}
  
  Dies ergibt als erzeugende Funktion
  \begin{align*}
    S&=\int_{q_0}^q
    p(F(I),q)\mathrm{d}q\\
    &=\int_{q_0}^q\sqrt{2\omega I-\omega^2q^2}\mathrm{d}q
  \end{align*}
  
  Statt die Integration bereits an dieser Stelle auszuführen, wird
  zunächst 
  \begin{align*}
    \varphi&=\frac{\partial S}{\partial I}(I,q)\\
    &=\omega\int_{q_0}^q\frac{1}{\sqrt{2\omega I-\omega^2q^2}}\mathrm{d}q
  \end{align*}
  gebildet. Nach der Integration und Auflösen nach $q$ erhält man
  \begin{align}
    \label{eq:harmoszi_q}
    q(I,\varphi)=\sqrt{\frac{2I}{\omega}}\cos{\left(\varphi + g(I)\right)},
  \end{align}
  wobei $g(I)$ durch die Wahl des Referenzpunktes $q_0$ festgelegt ist.

  Den ursprünglichen Impuls erhält man aus
  \begin{align*}
    p&=\frac{\partial S}{\partial q}(I,q)\\
    &=\sqrt{2\omega I-\omega^2q^2}.
  \end{align*}
  Einsetzen von $q(I,\varphi)$ aus Gl.~\ref{eq:harmoszi_q} ergibt
  \begin{align}
    \label{eq:harmoszi_p}
    p(I,\varphi)=\sqrt{2I\omega}\sin{\left(\varphi + g(I)\right)}.
  \end{align}

  In den Koordinaten $(I,\varphi)$ haben die kanonischen Gleichungen die
  trivialen Lösungen
  \begin{align*}
    I(t)=\frac{f}{\omega}\quad\text{und}\\
    \varphi(t)=\omega t+\varphi_0,
  \end{align*}
  wobei $\varphi_0\in \mathbb R$ und $f>0$.

  Diese Lösungen kann man nun in die Transformationsvorschriften
  (Gl.~\ref{eq:harmoszi_q} und Gl. \ref{eq:harmoszi_p}) einsetzen, um die
  Lösungen $p(t)$ und $q(t)$ des ursprünglichen Problems zu erhalten:
  \begin{align*}
    p(t)&=\sqrt{2f}\sin{\left(\omega t+\varphi_0 + g\left(f/\omega\right)\right)},\\
    q(t)&=\sqrt{\frac{2f}{\omega^2}}\cos{\left(\omega t+\varphi_0 + g\left(f/\omega\right)\right)}.
  \end{align*}
\end{bsp}

\subsection{Ausblick}
Bei den diskutierten Beispielen handelt es sich um sehr einfache
Systeme. Wie bereits eingangs erwähnt, sind jedoch zahlreiche
interessante mechanische Systeme integrabel und können somit mit dem
hier vorgestellten Verfahren gelöst werden.

Außerdem bilden die Lösungen integrabler Systeme den Ausgangspunkt für
die störungstheoretische Betrachtung nicht-integrabler
Systeme.\footnote{Störungstheorie wird ausführlich in
  \cite{Boccaletti1999} behandelt.} So kann man zum Beispiel zur
Untersuchung des Drei-Körper-Problems von Störungen der
Kepler-Ellipsen ausgehen.

Die im Rahmen des Liouville-Arnold-Theorems gefundenen Tori bleiben
zum Teil auch bei nicht-integrablen Störungen eines Systems
bestehen. Diese Beobachtung wird durch das KAM-Theorem
präzisiert.\footnote{Das Kolmogorov–Arnold–Moser-Theorem wird auch in
  \cite{Arnold1989} diskutiert.}

Schließlich existiert eine gewisse Verallgemeinerung des
Liouville-Arnold-Theorems auch für manche Systeme mit unendlich vielen
Freiheitsgraden, das heißt für partielle
Differentialgleichungen.\footnote{In \cite{Faddeev1986} wird die
  Konstruktion von Winkel-Wirkungs-Variablen für die sogenannte
  nicht-lineare Schrödinger-Gleichung untersucht.}

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Arnold1989} Arnold, V. I.: 
  \textit{Mathematical methods of classical mechanics}
  Springer, New York, 1989
\bibitem{Berry1978} Berry, M. V.: 
  Regular and Irregular Motion.
  \textit{Am. Inst. Ph. Conf. Proc.} \textbf{46}, 16 (1978)  
\bibitem{Babelon2003} Babelon, O., Bernard, D., Talon, M.:
  \textit{Introduction to Classical Integrable Systems}
  Cambridge University Press, Cambridge, 2003
\bibitem{Goriely2001} Goriely, A.:
  \textit{Integrability and Nonintegrability of Dynamical Systems}
  World Scientific, New Jersey, 2001
\bibitem{Boccaletti1999} Boccaletti, D., Pucacco, G.:
  \textit{Theory of Orbits 2: Perturbative and Geometrical Methods}
  Springer, New York, 1999
\bibitem{Faddeev1986} Faddeev, L. D., Takhtajan, L. A.:
  \textit{Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons}
  Springer, New York, 1986
\end{thebibliography}

\end{document}