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\hyphenation{a-symp-to-tisch}

\begin{document}

\title{Streuung am Coulomb-Potential}
\date{12. Dezember 2007}
\author{Nils Kanning}
\maketitle

\begin{abstract}
  Das zentrale Element der zeitabhängigen Streutheorie ist die $S$-Matrix. 
  Für kurzreichweitige Potentiale sichert die Cooksche Methode über die Konstruktion von M{\o}lleroperatoren die Existenz dieses Operators.
  Beim Coulomb-Potential versagt das Verfahren. Man kann jedoch, klassisch motiviert, modifizierte M{\o}lleroperatoren angeben.
  Nachdem die Existenz der $S$-Matrix somit gesichert ist, wird ein Verfahren zur Konstruktion der $S$-Matrix skizziert.
\end{abstract}

\section{Grundlagen der zeitabhängigen Streutheorie}
Wir betrachten eine Lösung $\varphi(t)$ der freien Schrödingergleichung mit 
Hamiltonoperator\footnote{wir wählen im gesamten Text $\hbar = 1$} $H_0 = -\Delta/2m$
und suchen Lösungen $\psi_{\text{ein/aus}}(t)$ der vollen Schrödingergleichung mit Hamiltonoperator $H=H_0+V$,
die sich asymptotisch der freien Lösung nähern.
Hierfür müssen die \emph{M{\o}lleroperatoren} existieren\footnote{Grenzwerte von Operatoren sind im starken Sinne zu verstehen}:
\begin{eqnarray}
  \label{eq:moeller}
  \Omega_{\text{ein/aus}} &=& \lim_{t\to \mp \infty} \Omega(t)\nonumber\\
  &=& \lim_{t\to \mp \infty} e^{iHt}e^{-iH_0t}
\end{eqnarray}
Weiter definieren wir die \emph{$S$-Matrix} als:
\begin{eqnarray}
  S = \Omega_\text{ein}\Omega_\text{aus}^*
\end{eqnarray}
Dieser Operator stellt die Verbindung zwischen dem einlaufenden Zustand $\psi_\text{ein}$ 
und dem zum gleichen $\varphi$ gehörenden auslaufenden Zustand $\psi_\text{aus}$ über die Relation $S\psi_\text{aus} = \psi_\text{ein}$ her.

\subsection{Cooksche Methode für kurzreichweitige Potentiale}
Für kurzreichweitige Potentiale, d.h. $V$ ist quadratintegrabel, sichert ein Satz von Cook die Existenz der M{\o}lleroperatoren.
Auf Grund der ebenfalls gegebenen asymptotischen Vollständigkeit entwickelt sich jeder nicht gebundene Zustand $\psi$ asymptotisch wie
ein freier Zustand. D.h. es gibt $\varphi_{\text{ein/aus}}$ so, 
dass\footnote{bei der Konvergenz von Wellenfunktionen ist hier und im Folgenden stets starke Konvergenz, d.h. im Hilbertraum Sinne, und nicht punktweise Konvergenz gemeint}:
\begin{eqnarray}
  \label{eq:asymp_frei}
  e^{-iHt}\psi(\vec x) \to e^{-iH_0t}\varphi_{\text{ein/aus}}(\vec x)\\
  \text{für}\;t\to\mp\infty\nonumber
\end{eqnarray}
Wir sprechen in diesem Fall von \emph{asymptotischer Kräftefreiheit}.
Physikalisch motiviert könnte man einen Zustand auch als asymptotisch kräftefrei betrachten, 
wenn sich lediglich die Wahrscheinlichkeitsdichte asymptotisch wie die eines freien Zustands 
entwickelt\footnote{da die Konvergenz in Gl. \ref{eq:asymp_frei} im starken Sinne ist, kann die folgende Beziehung nur fast überall gelten;
integrieren wir um Wahrscheinlichkeiten zu erhalten über Raumgebiete, so spielt diese Einschränkung also keine Rolle}:
\begin{eqnarray}
  \label{eq:asympt_frei_phys}
  |e^{-iHt}\psi(\vec x)|^2 \to |e^{-iH_0t}\varphi_{\text{ein/aus}}(\vec x)|^2\\
  \text{für}\;t\to\mp\infty\nonumber
\end{eqnarray}
Wir werden später beim Coulomb-Potential sehen, dass, obwohl die wirkliche asymptotische Kräftefreiheit gemäß Gl. \ref{eq:asymp_frei} nicht erreicht wird,
sich die Zustände im Sinne von Gl. \ref{eq:asympt_frei_phys} frei entwickeln. 

\section{Existenz der $S$-Matrix für das Coulomb-Potential}

\subsection{Versagen der Cookschen Methode}
Die Voraussetzungen des Cookschen Satzes sind im Falle des Coulomb-Potentials $V=\alpha/|\vec x|$ offensichtlich nicht erfüllt, da dieses nicht quadratintegrabel ist.
Es stellt sich die Frage, ob sich die Voraussetzungen des Satzes durch geschicktere Abschätzungen abschwächen lassen.
Dies ist nicht der Fall. Man kann hingegen zeigen, dass die M{\o}lleroperatoren aus Gl. \ref{eq:moeller} für das Coulomb-Potential nicht 
existieren\footnote{dies wird in \cite[S. 169]{ReedSimon3} dem Leser überlassen}.
Somit scheint eine zeitabhängige Streutheorie nicht möglich zu sein.

\subsection{Das Coulomb-Potential in der klassischen Mechanik}

Wir betrachten an dieser Stelle das klassische Coulomb-Problem, da dieses bereits andeutet, 
dass quantenmechanisch die Zeitentwicklung nicht asymptotisch kräftefrei sein kann.
Die Bahnkurven der Streulösungen sind Hyperbeln, die sich asymptotisch Geraden annähern. Die Schwierigkeit tritt erst bei der Zeitparametrisierung dieser Kurven zutage.
Für eine freie Bewegung sollte gelten:
\begin{eqnarray}
  \label{eq:zeit_frei}
  \vec x(t) \to \hat e\,vt\quad\text{für}\;t\to\infty
\end{eqnarray}
Im Falle des Coulomb-Potentials findet man jedoch\footnote{eine ausführlichere Argumentation befindet sich in 
\cite[S. 169-170]{ReedSimon3} und \cite[S. 171-173]{Thirring1}}:
\begin{eqnarray}
  \label{eq:zeit_coul}
  \vec x(t) \to \hat e\,vt + \hat e\,c\log(t)\quad\text{für}\;t\to\infty
\end{eqnarray}

\subsection[Dollards modifizierte M{\o}lleroperatoren]{Dollards modifizierte M{\o}lleroperatoren\protect\footnote{siehe hierzu \cite{Dollard1964}}}
Wir wenden uns nun wieder der Quantenmechanik zu und betrachten den Coulomb-Hamiltonoperator $H_C = H_0+\alpha/|\vec x|$.
Nach dem vorangegangenen Abschnitt können wir nicht erwarten, dass sich die Zustände asymptotisch gemäß der Zeitentwicklung von $H_0$ beschreiben lassen.
Wir führen daher einen ``gestörten freien Hamiltonoperator'' ein:
\begin{eqnarray}
  \label{eq:ham_gest}
  H_{0C} = H_0 +\frac{\epsilon(t)\alpha}{t\sqrt{-\Delta}}\log\left(\frac{-2|t|\Delta}{m}\right)\\
  \quad\text{mit}\;\epsilon(t)=\left\{\begin{array}{ll}
      1 & \textrm{für$\;t>0$}\\
      -1 & \textrm{für$\;t<0$}
    \end{array} \right.\nonumber
\end{eqnarray}
Die Wahl dieses Operators wird verständlich, wenn man die Koeffizienten in Gl. \ref{eq:zeit_coul} bestimmt und wird somit
durch die klassische Mechanik nahezu vorgeschrieben.
Dollard hat nun gezeigt, dass sich Streulösungen der Schrödingergleichung zum Hamiltonoperator $H_C$ asymptotisch gemäß $H_{0C}$ 
entwickeln.
Wir definieren daher die von Dollard eingeführten \emph{modifizierten M{\o}lleroperatoren} als:
\begin{eqnarray}
  \label{eq:mod_moeller}
  \Omega_{\text{ein/aus}}^C &=& \lim_{t\to \mp \infty} \Omega^C(t) \nonumber\\
  &=& \lim_{t\to \mp \infty} e^{iH_Ct}e^{-iH_{0C}t}
\end{eqnarray}
Diese Operatoren existieren. Wir können somit auch für das Coulomb-Potential Streutheorie betreiben 
und definieren die $S$-Matrix als $S = \Omega_\text{ein}^C{\Omega_\text{aus}^C}^*$.
Es verbleibt nun diese ``gestörte freie Zeitentwicklung'' physikalisch zu deuten.
Da man auch für das Coulomb-Potential die asymptotische Vollständigkeit zeigen kann,
 gibt es für jeden nicht gebundenen Zustand $\psi$ Zustände $\varphi_{\text{ein/aus}}$ derart, dass:
\begin{eqnarray}
  \label{eq:gest_asymp_frei}
  e^{-iH_Ct}\psi(\vec x) \to e^{-iH_{0C}t}\varphi_{\text{ein/aus}}(\vec x)\\\quad\text{für}\;t\to\mp\infty\nonumber
\end{eqnarray}
In den Übungen zur Quantenmechanik I haben wir die Entwicklung eines freien Wellenpaketes charakterisiert 
durch\footnote{hierbei steht $\tilde{\varphi}_{\text{ein/aus}}(\vec p)$ für die Impulsraumdarstellung von $\varphi_{\text{ein/aus}}$}:
\begin{eqnarray}
  \label{eq:asymp_frei_imp}
  &e^{-iH_0t}\varphi_{\text{ein/aus}}(\vec x) \to \nonumber
  \\&\left(\frac{m}{it}\right)^{3/2}\tilde{\varphi}_{\text{ein/aus}}\left(\frac{m\vec x}{t}\right)\\&\text{für}\;t\to\mp\infty\nonumber
\end{eqnarray}
Analog kann man für die ``gestörte freie Zeitentwicklung'' zeigen:
\begin{eqnarray}
  \label{eq:asymp_gest_imp}
  &e^{-iH_{0C}t}\varphi_{\text{ein/aus}}(\vec x) \to\nonumber\\*
  &\phi_C(\vec x)\left(\frac{m}{it}\right)^{3/2}\tilde{\varphi}_{\text{ein/aus}}\left(\frac{m\vec x}{t}\right)\\*
  &\text{für}\;t\to\mp\infty\nonumber
\end{eqnarray}
Dabei ist $\phi_C(\vec x)$ lediglich eine Phase. Nehmen wir die Resultate aus Gl. \ref{eq:gest_asymp_frei}, Gl. \ref{eq:asymp_frei_imp} und Gl. \ref{eq:asymp_gest_imp}
zusammen, so erhalten wir\footnote{wie schon in Gl. \ref{eq:asympt_frei_phys} gilt Folgendes erneut nur fast überall}:
\begin{eqnarray}
  \label{eq:asympt_frei_phys_coul}
  |e^{-iHt}\psi(\vec x)|^2 \to |e^{-iH_0t}\varphi_{\text{ein/aus}}(\vec x)|^2\\\quad\text{für}\;t\to\mp\infty\nonumber
\end{eqnarray}
Laut Gl. \ref{eq:asympt_frei_phys} war dies unsere ``physikalische Definition'' der asymptotischen Kräftefreiheit. 
Die Streulösungen des Coulomb-Potentials verhalten sich also asymptotisch, obwohl nicht durch die freie Zeitentwicklung beschrieben, bis auf eine Phase frei.

\section{Konstruktion der $S$-Matrix für das Coulomb-Potential}

Um die $S$-Matrix tatsächlich zu konstruieren, verwendet man im Allgemeinen die Störungstheorie. 
Beim Coulomb-Potential sind wir allerdings in der Lage, einen geschlossenen Ausdruck für die $S$-Matrix anzugeben.

\subsection[Das Heisenbergbild der Quantenmechanik]{Das Heisenbergbild der Quantenmechanik\protect\footnote{verschiedene Formen der quantenmechanischen Zeitentwicklung werden z. B. in \cite[S.  310-323]{Messiah} beschrieben}}

Bevor wir uns einem Konstruktionsverfahren für die $S$-Matrix zuwenden, benötigen wir noch eine andere Darstellung der Zeitentwicklung quantenmechanischer Systeme.
Gewöhnlich betrachten wir physikalische Zustände als Elemente $\varphi$ eines Hilbertraums, die sich mit der Zeit gemäß $e^{-iHt}\varphi$ entwickeln.
Nicht explizit zeitabhängige Observablen $O$ bleiben hingegen zeitlich konstant. Dies ist das \emph{Schrödingerbild} der Quantenmechanik.
Im \emph{Heisenbergbild} ist die Situation umgekehrt. Zustände $\varphi$ bleiben zeitlich konstant. Die Zeitentwicklung eines Systems wird durch die Zeitentwicklung
der Observablen $O(t)$ beschrieben:
\begin{eqnarray}
  \label{eq:zeit_heis}
  O(t) = e^{iHt}Oe^{-iHt}
\end{eqnarray}
Zudem erinnern wir uns, dass eine Observable $O$ eine Erhaltungsgröße ist, falls $[H,O] = 0$.

\subsection[Konstruktion der $S$-Matrix nach Thirring]{Konstruktion der $S$-Matrix nach Thirring\protect\footnote{das Verfahren wird in den Artikeln \cite{Thirring1973} und \cite{Thirring1974} vorgestellt und in \cite[S. 174-178]{Thirring3} erneut aufbereitet; zum Studium empfiehlt es sich, alle drei Quellen zu verwenden}}
Das Verfahren beruht auf der Ausnutzung der Symmetrien, sprich Erhaltungsgrößen, des Systems. Neben dem Quadrat des Drehimpulses $\vec L^2$
ist auch der Runge-Lenz-Vektor 
$\vec F = \frac{1}{2}(\vec p\times\vec L - \vec L\times\vec p)+m\alpha\vec x/|\vec x| = \frac{i}{2}[\vec p, \vec L^2] + m\alpha\vec x/|\vec x|$
erhalten.
Das Ziel ist es nun, zunächst diesen Runge-Lenz-Vektor $\vec F$ zu asymptotisch großen negativen und 
positiven Zeiten\footnote{wir verwenden in diesem Abschnitt das Heisenbergbild, d.h. die Operatoren sind zeitabhängig und entwickeln sich nach Gl. \ref{eq:zeit_heis}} 
gleichzusetzen und so eine Beziehung zwischen dem ein- und auslaufenden Impuls zu erhalten.
Dann stellt man fest, dass diese beiden Impulse über die $S$-Matrix verknüpft sind und man daraus diese Matrix bestimmen kann.
Für den bis hierhin skizzierten Ablauf benötigen wir zunächst die Konvergenz des Impulsoperators auf den Streuzuständen zu 
asymptotischen Zeiten\footnote{genau genommen müssten wir hier und im Rest des Abschnitts die Zeitentwicklung von $P\vec p P$
-- wobei $P$ der Projektor auf die Streuzustände ist -- betrachten, um sicherzustellen, dass das Bild des Operators die Streuzustände nicht verlässt}:
\begin{eqnarray}
  \label{eq:asymp_konv}
  \vec p_\text{ein/aus} = \lim_{t\to \mp \infty} \vec p(t)
\end{eqnarray}
Auch die folgenden Aussagen sind auf den Streuzuständen von Nöten:
\begin{eqnarray}
  \label{eq:asymp_konv_2}
  \lim_{t\to \mp \infty} \frac{\vec x(t)}{|\vec x(t)|} &=& \mp \frac{\vec p_\text{ein/aus}}{|\vec p_\text{ein/aus}|}\\*
  \lim_{t\to \mp \infty} \frac{1}{|\vec x(t)|} &=& 0
\end{eqnarray}
Damit schreiben wir den Runge-Lenz-Vektor als:
\begin{eqnarray}
  \vec F = \frac{i}{2}[\vec p_\text{ein/aus}, \vec L^2] \mp \eta(H_C)\vec p_\text{ein/aus}\\
  \text{mit}\;\eta(H_C) = m\alpha/\sqrt{2mH_C}\nonumber
\end{eqnarray}
Wir setzen $\vec F$ für asymptotisch große negative und positive Zeiten gleich und erhalten nach einiger Rechnung:
\begin{eqnarray}
  \label{eq:p_einaus}
  \vec p_\text{aus} = \vec p_\text{ein} \frac{\vec L^2(1+i\eta)+i\eta-\eta^2}{\vec L^2-i\eta + \eta^2}\nonumber\\* % Das verhindert einen Seitenumbruch!
  - i\eta\vec L^2 \vec p_\text{ein}\frac{1}{\vec L^2-i\eta + \eta^2}
\end{eqnarray}
Da $S$ mit $H_C$, $\vec L^2$ und $L_3$ vertauscht, betrachten wir nun ein System aus uneigentlichen Eigenzuständen $\chi_{E,l,m}$.
Wir berechnen mit Gl. \ref{eq:p_einaus} zunächst den scheinbar unbedeutenden Ausdruck:
\begin{eqnarray}
  \label{eq:matrixele}
  \frac{\langle\chi_{E,l+1,m}|\vec p_\text{aus}\,\chi_{E,l,m}\rangle}{\langle\chi_{E,l+1,m}|\vec p_\text{ein}\,\chi_{E,l,m}\rangle}=\frac{l+1-i\eta}{l+1+i\eta}
\end{eqnarray}
Wir wissen nun aber, dass die $S$-Matrix in dieser Basis diagonal ist und sich durch Streuphasen in der Form 
$S\chi_{E,l,m} = e^{2i\delta_l(E)}\chi_{E,l,m}$ darstellen lässt. 
Nun müssen wir die Verbindung zwischen den Impulsen über die $S$-Matrix herstellen. Man findet, dass $\vec p_\text{aus} = S^*\vec p_\text{ein}S$ 
ist\footnote{siehe dazu Abschnitt (3.4,24;6) in \cite[S. 126]{Thirring3}}.
Mit diesem Wissen stellen wir aus Gl. \ref{eq:matrixele} eine Rekursionsgleichung für die Streuphasen auf:
\begin{eqnarray}
  \frac{e^{2i\delta_l(E)}}{e^{2i\delta_{l+1}(E)}}=
  \frac{l+1-i\eta}{l+1+i\eta}
\end{eqnarray}
Damit ergibt sich die $S$-Matrix bis auf eine physikalisch meist nicht interessante
Phase\footnote{falls die Ausbreitungsrichtung des auslaufenden Wellenpaketes sich von der des einlaufenden unterscheidet,
ändert diese Phase den differentiellen Wirkungsquerschnitt nicht; vgl. Abschnitt (4.1,24) in \cite[S. 177]{Thirring3}} $e^{2i\delta_0(E)}$. 
Wir wählen\footnote{um im Einklang mit anderen Verfahren zur Bestimmung der Coulomb-$S$-Matrix zu sein} 
für diese Phase $e^{2i\delta_0(E)} = \Gamma(1+i\eta)/\Gamma(1-i\eta)$. 
Zusammengenommen ergibt sich damit für die $S$-Matrix:
\begin{eqnarray}
  \label{eq:s_coul}
  S = \frac{\Gamma(\frac{1}{2}+\sqrt{\vec L^2 + \frac{1}{4}}+i\eta)}{\Gamma(\frac{1}{2}+\sqrt{\vec L^2 + \frac{1}{4}}-i\eta)}
\end{eqnarray}
Obwohl dieses Endergebnis noch recht abstrakt erscheint, ist es physikalisch von Bedeutung.
So kann man hieraus den differentiellen Wirkungsquerschnitt der quantenmechanischen Streuung am Coulomb-Potential berechnen 
und erhält ein Resultat, das mit dem der klassischen Mechanik übereinstimmt.

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Dollard1964} Dollard, J. D.: 
  Asymptotic Convergence and the Coulomb Interaction.
  \textit{J. Math. Phys.} \textbf{5}, 729 (1964)  
\bibitem{Thirring1973} Grosse, H., Narnhofer, H., Thirring, W.: 
  How to calculate the Coulomb Scattering Amplitude.
  In: \textit{Lecture Notes of Adriatic Summer Meeting on Particle Physics, Rovinj} (1973)
\bibitem{Thirring1974} Grosse, H., Grümm, H. R., Narnhofer, H., Thirring, W.: 
  Algebraic Theory of Coulomb Scattering.
  \textit{Acta Phys. Austr.} \textbf{40}, 97 (1974)  
\bibitem{Thirring1} Thirring, W.: 
  \textit{Lehrbuch der Mathematischen Physik 1: Klassische Dynamische Systeme.}
  Springer-Verlag, Wien, New York, 1988
\bibitem{Thirring3} Thirring, W.: 
  \textit{Lehrbuch der Mathematischen Physik 3: Quantenmechanik von Atomen und Molekülen.}
  Springer-Verlag, Wien, New York, 1979
\bibitem{ReedSimon3} Reed, M., Simon, B.: 
  \textit{Mehtods of modern mathematical physics Vol. 3: Scattering Theory.}
  Academic Press, New York, London, Sydney, 1979
\bibitem{Messiah} Messiah, A.: 
  \textit{Quantum mechanics.}
  Dover Publications, Mineola, New York, 1999

\end{thebibliography}

\end{document}