\documentclass[a4paper,twoside,twocolumn]{article} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{a4,ngerman} \usepackage{tikz} % Optional PGF libraries \usetikzlibrary {arrows} \usetikzlibrary {snakes} %\usepackage{sectsty} %\allsectionsfont{\raggedright} \setlength{\textwidth}{16.2cm} \setlength{\textheight}{23cm} \setlength{\oddsidemargin}{0cm} \setlength{\evensidemargin}{-0.5cm} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \usepackage[T1]{fontenc} % \usepackage{ae,aecompl} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[ unicode=true, pdfauthor={Steffen Klemer}, pdftitle={Einblicke in die Quanteninformationstheorie}, ]{hyperref} \usepackage{amsfonts,amstext, amsmath,amsthm} \newtheorem*{satz}{Satz} \newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle} \hyphenation{a-symp-to-tisch} \begin{document} \title{Einblicke in die Quanteninformationstheorie} \date{23. Januar 2008} \author{Steffen Klemer} \maketitle \begin{abstract} Die Quanteninformationstheorie beschäftigt sich mit der Speicherung, Übertragung und Umwandlung von Informationen, die als Quantenzustände kodiert sind. Im Moment werden vor allem Zwei-Zustandssysteme betrachtet. Einige der Ergebnisse sind starke abhörsichere Kanäle sowie Algorithmen für die schnelle Faktorisierung sowie die Simulation von allgemeinen Vielteilchen-Quantensystemen. \end{abstract} \section{Grundlagen} \subsection{Qubit} \label{qubit} Ein Qubit ist ein Quantensystem mit 2 orthogonalen (scharf unterscheidbaren) Zuständen, meist bezeichnet mit $\ket{0}$ und $\ket{1}$. Dann ist auch jede Überlagerung \begin{align*} \alpha \ket{0} + \beta \ket{1} &=: (\alpha,\beta) \\ |\alpha|^2+|\beta|^2&= 1;\;\;\alpha,\beta \in \mathbb{C} \end{align*} ein zulässiger Zustand. Da nur die relative Phase von Interesse ist, können wir den Vektor als Punkt auf der Einheitskugel im $\mathbb{R}^3$, der \emph{Blochkugel}, darstellen. Damit ist aber auch klar, dass wir für die Speicherung eines allgemeinen Qubits klassisch 2 reelle Zahlen, also eine unendliche Informationsmenge, benötigten. Beispiele für Qubits sind Spin-Systeme, Photonenpolarisationen oder Zwei-Niveausysteme z.B. Energien eines Atoms. Für zwei Qubits definieren wir $ \ket{\varphi} \otimes \ket{\psi}=: \ket{\varphi} \ket{\psi}=: \ket{\varphi\psi}$. Es ergibt sich für das Tensorprodukt: \begin{align*} \ket{\varphi}\ket{\psi} &= \alpha \ket{00} + \beta \ket{01} + \gamma \ket{10} + \delta \ket{11} \end{align*} Also 4 komplexe Zahlen mit der bekannten Nebenbedingung. Allgemein erhält man für $n$ Qubits $2^n$ Parameter. \frqq\emph{Hilbert Space is a big place}\flqq -- Carlton Caves \subsection{No-Cloning Theorem} \begin{satz} Es gibt keine Operation $U$, die jeden Quantenzustand perfekt kopiert. \end{satz} \begin{proof}[Beweis (Widerspruch)] Annahme: $$\exists U: U\ket{\psi}\ket{a} = \ket{\psi} \ket{\psi}$$ ($\ket{a}$ wird Hilfszustand genannt) Es gilt also \begin{align*} U \ket{0} \ket{a} &= \ket{0} \ket{0} \\ U \ket{1} \ket{a} &= \ket{1} \ket{1} \end{align*} Nun sei $ \ket{\varphi}=\alpha \ket{0}+ \beta \ket{1}$ ein allgemeiner Quantenzustand, dann ist \begin{align*} U \ket{\varphi} \ket{a} &= U( \alpha \ket{0}+ \beta \ket{1}) \ket{a} \\ &= \alpha U \ket{0} \ket{a} + \beta U\ket{1} \ket{a} \\ &= \alpha \ket{00} +\beta \ket{11} \\ &\neq (\alpha \ket{0} + \beta \ket{1})(\alpha \ket{0} + \beta \ket{1}) \\ &= \ket{\varphi} \ket{\varphi} \end{align*} Damit ist die Annahme falsch. \end{proof} Es stellt sich heraus, dass zwar keine perfekten, aber approximierende Kopierer möglich sind. \section{Quantencomputing} Alle folgenden Matrizen sind in der Basis $( \ket{0}, \ket{1})$ bzw. $( \ket{00}, \ket{01}, \ket{10}, \ket{11})$ zu lesen. \subsection{Ein-Qubit Operationen} Als Qubit-Operatoren (\emph{Gatter}) kommen analog zur allgemeinen Zeitentwicklung nur unitäre Operatoren in Betracht. Somit ist insbesondere aber auch die Umkehrbarkeit festgelegt. Als einfachsten Operator finden wir das Pendant zum klassischen NOT, die erste Pauli-Matrix: \begin{align*} X &:= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align*} Man vergewissert sich leicht, dass gilt: \begin{align*} X(\alpha \ket{0} + \beta \ket{1}) &= \alpha \ket{1} + \beta \ket{0} \end{align*} Weiterhin definieren wir das Z, sowie das \emph{Hadamad}(H)-Gatter: \begin{align*} Z &:= \quad \;\;\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\ H &:= \frac{1}{\sqrt 2 } \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{align*} Ähnlich zum NAND-Gate in der klassischen Informatik findet man eine Gruppe von Gattern, aus denen sich alle anderen möglichen Gatter zusammensetzen lassen. Dies sind im wesentlichen 3 verschiedene Rotationen in der Blochkugel sowie das folgende CNOT-Gatter. Die Rotationen sind (zusammen mit einem Phasenshift) die Generatoren der Gruppe der 1-Qubit Operatoren. \subsection{Mehr-Qubit-Gatter} Das wichtigste Zwei-Qubit Gatter ist das, mit dem klassischen XOR vergleichbare, CNOT. Seine Operation ist \begin{align*} C:\;\ket{A}\ket{B} \mapsto \ket{A}\ket{B\oplus A}, \end{align*} wobei $\oplus$ die Addition modulo 2 beschreibt. In Flußdiagrammen wird es meist so dargestellt: %\includegraphics{cnot} \begin{center} \begin{tikzpicture} \draw (0.7,2) node[anchor=east] {$ \ket{A}$} -- (3.3,2) node[anchor=west] {$ \ket{A}$}; \fill (2,2) circle (0.1); \draw (2,1) circle (0.1); \draw (2,2) -- (2,0.9); \draw (0.7,1) node[anchor=east] {$ \ket{B}$} -- (3.3,1) node[anchor=west] {$ \ket{B\oplus A}$};; \end{tikzpicture} \end{center} Wichtig ist hierbei, dass es im Gegensatz zum klassischen XOR zwei Ausgänge besitzt, die die Invertierbarkeit ermöglichen. Seine Matrix-Darstellung ist: \begin{align*} C &= \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 & 0 \\ 0 &1 &0 & 0 \\ 0& 0 &0 &1 \\ 0 &0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align*} \subsection{Quantenparallelität} \textbf{Ziel:} Berechnung von $f:\, \lbrace 0,1 \rbrace \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace$ Für jede solche Funktion $f$ finden wir einen unitären Operator $U_f$ so, dass \begin{align*} U_f: \, \ket{A,B} \mapsto \ket{A,B\oplus f(A)}. \end{align*} \emph{(Beweis siehe \cite[Sec 3.2.5]{chunie})} %\includegraphics{uf} \begin{center} \begin{tikzpicture} \draw (0,1) node[anchor=east] {$ \ket{0}$} -- (0.5,1) node[anchor=west] {B} (3,1) node[anchor=east] {B $\oplus f(A)$} -- (3.5,1); \draw (0,2.5) node[anchor=east] {$ \frac{ \ket{0}+ \ket{1}}{\sqrt 2}$} -- (0.5,2.5) node[anchor=west] {A} (3,2.5) node[anchor=east] {A} -- (3.5,2.5); \draw (0.5,0) rectangle (3,3.5); \draw (1.75,1.8) node {$U_f$}; \draw[color=white] (5,0) -- (5.1,0); \end{tikzpicture} \end{center} Nun betrachten wir: \begin{align*} U_f \left(\frac{ \ket{0}+ \ket{1}}{\sqrt 2} \ket{0}\right) &= \frac{ \ket{0,f(0)}+ \ket{1,f(1)}}{\sqrt 2} \end{align*} Wir haben also mit einer Operation $U_f$ gleichzeitig $f(0)$ und $f(1)$ berechnet. Leider liegen beide Ergebnisse im überlagerten Zustand vor. Sobald wir messen, erhalten wir, falls die Messung des ersten Qubits 0 ergibt $f(0)$, andernfalls $f(1)$. Das jeweils andere Ergebnis ist verloren. Die Kunst in der Quanteninformationstheorie besteht nun darin, direkt mit dem überlagerten Zustand weiterzurechnen. Wie dies aussehen kann, sehen wir im folgenden Abschnitt. Es stellt sich heraus, dass sich dies auf mehrbittige Funktionen verallgemeinern lässt, wir also alle Funktionswerte aller Bitpermutationen durch \emph{eine} Anwendung von $U_f$ berechnen können. \subsection{Deutsch's Algorithmus} \textbf{Ziel:} Berechnung von $f(0)\oplus f(1)$ Klassisch wären hierfür zwei (evt. teure) Auswertungen von $f$ notwendig. Quantenmechanisch klappt es mit einer, wie die folgende Maschine zeigt: %\includegraphics{deutsch} \begin{center} \begin{tikzpicture} \draw (0,2.5) node[anchor=east] {$ \ket{0}$} -- (0.5,2.5) (0.5,2.2) rectangle (1.3,2.8) (0.9,2.5) node {H} (1.3,2.5) -- (1.8,2.5) node[anchor=west] {A} (4.8,2.5) node[anchor=east] {A} -- (5.1,2.5) (5.1,2.2) rectangle (5.9,2.8) (5.5,2.5) node {H} (5.9,2.5) -- (6.2,2.5); \draw (0,1) node[anchor=east] {$ \ket{1}$} -- (0.5,1) (0.5,0.7) rectangle (1.3,1.3) (0.9,1) node {H} (1.3,1) -- (1.8,1) node[anchor=west] {B} (4.8,1) node[anchor=east] {B $\oplus f(A)$} -- (6.2,1); \draw (1.8,0) rectangle (4.8,3.5); \draw (3.3,1.8) node {$U_f$}; \draw[<-] (0.25,0.5) -- (0.25,-0.5) node[anchor=north] { $ \ket{\psi_0}$}; \draw[<-] (1.6,0.5) -- (1.6,-0.5) node[anchor=north] { $ \ket{\psi_1}$}; \draw[<-] (5,0.5) -- (5,-0.5) node[anchor=north] { $ \ket{\psi_2}$}; \draw[<-] (6,0.5) -- (6,-0.5) node[anchor=north] { $ \ket{\psi_3}$}; \end{tikzpicture} \end{center} Wir gehen sie einzeln durch: \begin{align*} \ket{\psi_0} &= \ket{0} \ket{1} \\ \ket{\psi_1} &= \left( \frac{ \ket{0} + \ket{1}}{\sqrt 2} \right) \left( \frac{ \ket{0} - \ket{1}}{\sqrt 2} \right) \end{align*} Bevor wir nun $\ket{\psi_2}$ berechnen, betrachten wir erst den allgemeineren Fall \begin{align*} U_f\left( \ket{A} \frac{ \ket{0}- \ket{1}}{\sqrt 2} \right) &= \ket{A} \frac{ \ket{0\oplus f(A)} - \ket{1\oplus f(A)}}{\sqrt 2} \\ &= (-1)^{f(A)}\; \ket{A} \frac{ \ket{0}- \ket{1}}{\sqrt 2} \end{align*} Damit ergibt sich \begin{align*} \ket{\psi_2} &= \begin{cases} \pm \left( \frac{ \ket{0} + \ket{1}}{\sqrt 2} \right)\left( \frac{ \ket{0} - \ket{1}}{\sqrt 2} \right) & f(0)=f(1) \\ \pm \left( \frac{ \ket{0} - \ket{1}}{\sqrt 2} \right)\left( \frac{ \ket{0} - \ket{1}}{\sqrt 2} \right) & f(0) \neq f(1) \end{cases} \\ \ket{\psi_3} &= \begin{cases} \pm \ket{0} \left( \frac{ \ket{0} - \ket{1}}{\sqrt 2} \right) & f(0)=f(1) \\ \pm \ket{1} \left( \frac{ \ket{0} - \ket{1}}{\sqrt 2} \right) & f(0) \neq f(1) \\ \end{cases} \\ \end{align*} Mit \begin{align*} f(0)=f(1) &\Leftrightarrow f(0)\oplus f(1)=0 \text{ und} \\ f(0) \neq f(1) &\Leftrightarrow f(0)\oplus f(1)=1 \end{align*} erhalten wir schließlich \begin{align*} \ket{\psi_3} &= \pm \ket{f(0)\oplus f(1)} \left( \frac{ \ket{0} - \ket{1}}{\sqrt 2} \right) \end{align*} Wir brauchen also lediglich das erste Qubit messen und erhalten das Ergebnis der Addition, ohne $f$ ein zweites Mal auswerten zu müssen. Dies ist durch die geschickte Umformung des überlagerten Zustandes möglich. \subsection{Ausblick} Etwas tiefsinnigere Quantenalgorithmen existieren für die Datenbanksuche, welche klassisch $\mathcal{O}(n)$ sind, in $\mathcal{O}(\sqrt n)$. Peter Shor hat einen FFT-Algorithmus entworfen. Klassisch ist dieser für $N=2^n$ Werte in der Größenordnung $\mathcal{O}(n2^n)$, quantenmechanisch $\mathcal{O}(n^2)$. Auf Basis der FFT erhalten wir auch schnelle Verfahren für die Berechnung des diskreten Logarithmus und die Faktorisierung (vgl. auch \cite{shor}). Weitere wichtige Algorithmen existieren für die Simulation von quantenmechanischen Systemen. \section{Datenübertragung} \subsection{Teleportation} Wir haben die folgende Situation: Alice und Bob haben in der Vergangenheit ein verschränktes Qubit-Paar $ \ket{\chi}= 1/\sqrt 2 \left( \ket{00}+\ket{11} \right)$ erzeugt und jeder eines der beiden Qubits mitgenommen. Nun möchte Alice Bob ein ihr unbekanntes Qubit $\ket{\varphi}=1/\sqrt 2 (\alpha \ket{0} + \beta \ket{1})$ übermitteln. Ihnen steht nur ein klassischer Kanal für die Datenübertragung zur Verfügung. Klassisch beschrieben bräuchten wir eine unendliche In\-for\-ma\-tions\-men\-ge (vgl. Abs. \ref{qubit}), davon abgesehen, dass wir bei der Messung den überlagerten Zustand zerstören würden. Wir denken uns also wieder eine lustige Maschine aus: %\includegraphics{teleport} \begin{center} \begin{tikzpicture} \draw (-0.1,2) node[anchor=east] {$ \ket{\varphi}$} (0,2) -- ++(0.5,0) circle (0.1) -- ++(0.5,0) +(0,-0.3) rectangle +(0.8,0.3) ++(0.4,0) node {H} ++(0.4,0) -- ++(0.5,0) +(0,-0.3) rectangle +(0.8,0.3) ++(0.4,0) node {} ++(0.4,0); \draw[style=dashed] (3.2,2) -- ++(1.75,0) -- ++(0,-1.7); \fill (0.5,2) circle (0.1); \draw (0.5,2) -- (0.5,0.9); \draw (0,1) -- ++(0.5,0) circle (0.1) -- ++(0.5,0) +(0,-0.3) rectangle +(0.8,0.3) ++(0.4,0) node {H} ++(0.4,0) -- ++(0.5,0) +(0,-0.3) rectangle +(0.8,0.3) ++(0.4,0) node {} ++(0.4,0); \draw[style=dashed] (3.2,1) -- ++(0.75,0) -- ++(0,-0.6); \draw (0,0) -- ++(3.2,0) -- ++(0.37,0) +(0,-0.3) rectangle +(0.8,0.3) ++(0.4,0) node {X} ++(0.4,0) -- ++(0.2,0) +(0,-0.3) rectangle +(0.8,0.3) ++(0.4,0) node {Z} ++(0.4,0) -- (6,0) node[anchor=west] {$ \ket{\varphi}$}; \draw[<-] (0.2,-0.2) -- (0.2,-1) node[anchor=north] { $ \ket{\psi_0}$}; \draw[<-] (0.9,-0.2) -- (0.9,-1) node[anchor=north] { $ \ket{\psi_1}$}; \draw[<-] (2.12,-0.2) -- (2.12,-1) node[anchor=north] { $ \ket{\psi_2}$}; \draw[<-] (4.47,-0.2) -- (4.47,-1) node[anchor=north] { $ \ket{\psi_3}$}; \draw[<-] (5.6,-0.2) -- (5.6,-1) node[anchor=north] { $ \ket{\psi_4}$}; \draw[->] (2.63,1.9) -- ++(0.24,0.3); \draw (2.9,1.87) arc (-10:160:0.22 and 0.18); \draw[->] (2.63,0.9) -- ++(0.24,0.3); \draw (2.9,0.87) arc (-10:160:0.22 and 0.18); \draw[snake=brace] (-0.1,-0.1) -- ++(0,1.2); \draw (-0.1,0.5) node[anchor=east] { $ \ket{\chi}$}; \draw[snake=brace] (6.8,2.1) -- ++(0,-1.2); \draw (6.8,1.5) node[anchor=west] {Alice}; \draw (6.85,0) node[anchor=west] {Bob}; \end{tikzpicture} \end{center} Die Kästen mit Zeiger stellen Messungen in der passenden Basis dar. Gestrichelte Linien sind klassische Kanäle. Das oberste Qubit ist das zu übertragende, die beiden unteren das verschränkte Paar. Die beiden oberen sind bei Alice, das untere bei Bob. Wieder betrachten wir das System stückweise: \begin{align*} \ket{\psi_0} =& \ket{\varphi} \ket{\chi} \\ =& \frac{1}{\sqrt 2} (\; \alpha \ket{0} [\, \ket{0} \ket{0} + \ket{1} \ket{1}\,]+\\ &\quad\quad\; \beta \ket{1}[\, \ket{0} \ket{0} + \ket{1} \ket{1}\,]\; ) \\ \ket{\psi_1} =& \frac{1}{\sqrt 2} ( \alpha \ket{0}[ \ket{00} + \ket{11}] + \\ &\quad\quad\beta \ket{1}[ \ket{10} + \ket{01}] ) \\ \ket{\psi_2} =& \frac{1}{2} ( \alpha ( \ket{0} + \ket{1})( \ket{00}+ \ket{11})+\\&\quad \beta ( \ket{0} - \ket{1})( \ket{10}+ \ket{01}) ) \\ =& \frac{1}{2} ( \ket{00} \underbrace{(\alpha \ket{0}+ \beta \ket{1})}_{ \ket{\varphi}} + \ket{01} \underbrace{(\alpha \ket{1} + \beta \ket{0})}_{ \ket{\varphi_X}} \\ &+ \ket{10} \underbrace{(\alpha \ket{0} - \beta \ket{1})}_{ \ket{\varphi_Z}} + \ket{11} \underbrace{(\alpha \ket{1} - \beta \ket{0})}_{ \ket{\varphi_{XZ}}} ) \end{align*} Alice überträgt nun ihr Mess\-er\-geb\-nis, also 2 klassische Bits, an Bob. Dieser muss abhängig vom Mess\-er\-geb\-nis verschiedene Operationen auf sein Qubit anwenden. Bei $(0,0)$ braucht er nichts weiter tun, sein Qubit entspricht $ \ket{\varphi}$. Bei $(0,1)$ muss er die erste Pauli-Matrix (X) verwenden, bei $(1,0)$ die dritte (Z) und bei $(1,1)$ beide, um sein Qubit in den richtigen Zustand zu versetzen. Wir können also mit einem verschränkten Qubit-Paar und 2 klassischen Bits einen Qubit-Zustand übertragen. Die Teleportation verletzt nicht das No-Cloning Theorem, da das original Qubit bei der Messung \emph{\frqq zerstört\flqq} wird. Und auch die Relativitätstheorie bleibt intakt, da Bob erst über sein Qubit bescheid weiss, nachdem Alice' Bits auf klassischem Wege bei ihm angekommen sind. \subsection{Ausblick} Mit Hilfe des No-Cloning Theorems und ein wenig Statistik können wir Verfahren entwickeln, um kryptografische Schlüssel auszutauschen. Da ein Mithöhrer bei jeder Messung das System beeinflussen würde, würde die (zwangsläufig vorhandene) Fehlerrate ansteigen. Dies kann durch die Veröffentlichung einiger Bits des Schlüssels durch Alice und Bob überprüft und der Schlüssel gegebenenfalls verworfen werden. Es gibt zwei grundlegende Verfahren, eines mit und eines ohne Entanglement. Bei ersterem (BB84) gibt es statistische Angriffe, die dem Mithöhrer zumindest einige Informationen geben. Es gibt einige Firmen, die Systeme zur quantenkryptografischen Kommunikation mit Preisen auf Anfrage verkaufen. Die bekannteste ist sicherlich \cite{idq}. \section{Umsetzung} \subsection{Übertragung} Hier wird meist die Polarisation von Photonen verwendet, die entweder mittels Laserpulsen oder durch Lichtwellenleiter übertragen werden. Ein großes Problem ist noch die Erzeugung von einzelnen Photonen (was ein weiteres Angriffsziel für einen Lauscher darstellt). Wesentliche Impulse gingen zuletzt von der Gruppe von Anton Zeillinger\cite{zei07} aus. \subsection{Gatter} Für Quantenrechner werden zur Zeit meist Ionen oder Atome in Fallen verwendet, wobei das Qubit dann der Energiezustand ist. Die Operationen werden durch Laserpulse ausgeführt. Es sind aber auch Festkörperstrukturen im Gespräch. Einen Überblick bietet \cite{phyj}. 2001 wurde Shors Algorithmus bei IBM mit 7 Qubits auf Kernspin-Basis realisiert und faktorisierte die Zahl 15\cite{van}. 2003 wurde auf einem Ionenfallencomputer der Deutsch-Josza-Algorithmus (eine Verallgemeinerung des hier vorgestellten) implementiert\cite{gui}. 2007 gab es erstmalig einen skalierbaren Aufbau auf der Grundlage der linearen Optik. Hier wurde mittels 4 photonischer Qubits ebenfalls die 15 zerlegt\cite{lu}. \section{Fazit} Quantencomputer haben, wie wir gesehen haben, ein sehr großes Potential. Kritiker bringen oft die Schwierigkeit des Nutzens der versteckten Information ein. Die Algorithmen von Shor und anderen zeigen, dass es für sehr spezielle Anwendungen möglich ist, die Überlagerung sinnvoll zu nutzen. Ob es weitere solche Anwendungen gibt, muss sich zeigen. Ein sehr weit hergeholter Vergleich zeigt noch einmal die Mächtigkeit: Dass Moor'sche Gesetz in der klassischen Informatik spricht von einer Verdopplung der Speicherkapazität alle 2 Jahre. Quanteninformationstheoretisch müssten wir hierfür nur ein Qubit alle 2 Jahre hinzufügen. \begin{thebibliography}{[AaaXX]} \bibitem[Nie00]{chunie} Nielsen, M; Chuang, I.: \emph{Quantum Computation and Quantum Information.} CUP, 2000 \bibitem[Jan05]{phyj} Janzing, D. et al: Schwerpunkt Quanteninformation. \textit{Physik Journal} 11/ 2005 \bibitem[Bru07]{bruss} Bruß, D. et al: \emph{Lextures on Quantum Information.}, Wiley, 2007 \bibitem[Aar07]{shor} Aaronson, S.: \emph{Shor, I’ll do it.} \url{http://scottaaronson.com/blog/?p=208}, 2008-01-12 \bibitem[Idq07]{idq} idQuantique, \url{http://www.idquantique.com/} \bibitem[Zei07]{zei07} Publikationen der Quantengruppe der Uni Wien, \url{http://www.quantum.at/index.php?id=40} \bibitem[CLu07]{lu} Lu, C.: \emph{Demonstration of Shor’s quantum factoring algorithm using photonic qubits}, Physical Review Letters, 2007; auch auf \url{http://arxiv.org/pdf/0705.1684}; 2007-01-13 \bibitem[Van01]{van} Vandersypen, L et al.: \emph{Experimental realization of Shor's factorizing algorithm using nuclear magnetic resonance}, letters to nature. Bd. 414, 20/27 Dezember 2001 \bibitem[Gui03]{gui} Guide, S. et al.: \emph{Implementation of the Deutsch-Jozsa algorithm on an ion-trap quantum computer}, letters to nature. Bd. 421, 2003 \end{thebibliography} %Das Original dieses Dokuments steht mit klickbaren Links und Quellcode auf \url{http://www.noch-mehr-davon.de/sem.shtml}. \end{document}